6.6. Полезность решения
Полезность решения – отношение того, кто рискует, к своему возможному выигрышу и проигрышу. Сумма выигрыша (проигрыша) – это объективный результат решения. Полезность – это субъективный результат, нередко чисто эмоциональное отношение. Простейшее отношение – ровное – прямо пропорционально величине выигрыша или проигрыша (некоторой сумме); в самом простом случае – полезность равна этой сумме: П(с) = c (рис. 6.2).
Полезность выигрыша
П(c)
П(c)=c
Величина проигрыша Величина
-с выигрыша c
0
П(-c)
Вредность проигрыша
Рисунок 6.2 – Полезность ровного решения
Принимая решение, человек, как правило, оценивает не просто ожидаемую величину выигрыша (если c < 0 – то проигрыша), а ее полезность. И решение принимается тогда, когда П общего результата оказывается положительной.
ПРИМЕР. Оценивая целесообразность страхования объекта, его владелец рассуждает так. Если я заключаю договор, то его полезность будет равна П(-в), т.е. я теряю сравнительно небольшую сумму страхового взноса (в). Если я договор не заключаю, то полезность такого решения равна р * П(-c), т.е. в случае аварии (вероятность этого события равна р) я рискую потерять значительно большую сумму (c). В этих условиях страховать объект, видимо, следует лишь тогда, когда разность этих двух полезностей будет положительной:
П(-в) – р * П(-c) > 0,
т.е., иными словами, страховать стоит, если, жертвуя меньшим, мы избегаем больших потерь.
При ровном отношении
П(-в) – р * П(-c) = -в + р * c, тогда условие
-в + р * c > 0,
р > в/c или в < р * c.
Но для страховых фирм последнее неприемлемо; они стремятся, чтобы сумма выплат была меньше суммы взносов (т.е. в > р * c), и можно утверждать, что при ровном отношении страхование производиться, как правило, не будет – риск не имеет смысла. Аналогично – участие в лотереях.
Жизнь показывает, что ровное отношение является не только не единственным, но и не самым распространенным; люди в большинстве случаев оценивают полезность выигрышей и вредность проигрышей непропорционально их величинам.
Характерные виды функций полезности.
1. Осторожное решение (опасение проигрышей): вредность проигрышей переоценивается в сравнении с ровным отношением, а полезность выигрышей недооценивается. Часто меру этого преувеличения (преуменьшения) выражают экспонентой (рис. 6.3).
П(b)
недооценка
-b b
переоценка
П(-b)
Рисунок 6.3 – Полезность осторожного решения
2. Смелое решение – противоположное предыдущему по заложенному в нем отношению. Для смелого решения характерно желание получить обязательно большой выигрыш, т.е. полезность большого выигрыша непропорционально переоценивается. При этом вероятность больших ожидаемых проигрышей преуменьшается (рис. 6.4).
П(b)
-b b
П(-b)
Рисунок 6.4 – Функция полезности смелого (авантюрного) решения
3. Решение богатого, при котором преуменьшается как полезность выигрышей, так и вредность потерь (рис. 6.5).
Полезность успеха
П(b) Функция
полезности
-b b
Потери Успех
П(-b)
Вредность потерь
Рисунок 6.5 – Полезность решения богатого
4. Решение бедного – преувеличиваются и полезность выигрыша, и вредность проигрыша (рис. 6.6).
П(b)
-b b
П(-b)
Рисунок 6.6 – Полезность решения бедного
5. Гибкое (обывательское) решение, при котором для малых выигрышей и проигрышей имеет место смелое решение, а для больших – осторожное (рис. 6.7).
П(b)
-b
b
П(-b)
Рисунок 6.7 – Полезность гибкого (обывательского) решения
6. Призовое решение, при котором помимо полезности выигрыша (вредности проигрыша) учитываются также дополнительный приз за выигрыш (Пр) и дополнительные потери (штраф) при проигрыше (-Пр) (рис. 6.8).
П(b) полезности
Пр
-b b -Пр
Функция П(-b)
Рисунок 6.8 – Полезность призового решения
7. Целевое решение, при котором целью всех действий является достижение определенного выигрыша (+Ц), в противном случае – проигрыш (-Ц). Меньшее или большее значение успехов или потерь никакой полезности и вредности не представляет. Это может быть, например, необходимость выполнить определенное задание точно в срок.
П(b)
полезности
-b b -Ц Ц
Функция
П(-b)
Рисунок 6.9 – Полезность целевого решения
Влияние оценки полезности на групповое решение
Пусть решение, связанное с риском, принимается группой из двух лиц. Возможны две альтернативы решения: а1 и а2. Оценки полезности этих альтернатив (вариантов) для двух возможных исходов показаны в табл. 6.5 и 6.6. Вероятности исходов по оценкам их каждым лицом, естественно, различны.
Таблица 6.5 – Для 1-го лица
Варианты решения |
Вероятность исходов |
Полезности по всем (двум) исходам |
|
р1 = 0,2 |
р2 = 0,8 |
||
выигрыши |
|||
А1 |
-8 |
+12 |
-8 ∙ 0,2 + 12 ∙ 0,8 = = +8,0 |
А2 |
+20 |
-3 |
20 ∙ 0,2 - 3 ∙ 0,8 = = +1,6 |
Таблица 6.6 – Для 2-го лица
Варианты решения |
Вероятность исходов |
Полезности по всем (двум) исходам |
|
р1 = 0,4 |
р2 = 0,6 |
||
выигрыши |
|||
а1 |
-2 |
+4 |
-2 ∙ 0,2 + 4 ∙ 0,6 = = +1,6 |
а2 |
+40 |
-7 |
40 ∙ 0,4 - 7 ∙ 0,6 = = +11,8 |
Поскольку 1-е лицо выше оценивает полезность первого решения, а 2-е – второго, то простое общее мнение невозможно. В этом случае теория решений предлагает основываться на средних величинах вероятностей и выигрышей (табл. 6.7).
Таблица 6.7 – Средняя полезность для группы
Варианты решения |
Средние вероятности исходов |
Полезности по двум исходам |
|
р1 = 0,3 |
р2 = 0,7 |
||
средние выигрыши |
|||
а1 |
-5 |
+8 |
-5 ∙ 0,2 + 8 ∙ 0,7 = = +4,1 |
а2 |
+30 |
-5 |
30 ∙ 0,3 - 5 ∙ 0,7 = = +5,5 |
Из табл. 6.7 видно, что группа должна избрать вариант а2. Такой простой путь перехода содержит подвох: в некоторых случаях может оказаться, что групповой выбор не соответствует ни одному из индивидуальных решений. Вот пример (табл. 6.8):
Таблица 6.8 – Индивидуальные оценки ситуации
Вари-анты реше-ния |
1-е лицо |
2-е лицо |
|||||
Вероятность исходов |
Полезности по двум исходам |
Вероятность исходов |
Полезности по двум исходам |
|
|||
р1=0,1 |
р2=0,9 |
р1=0,9 |
р2=0,1 |
|
|||
выигрыши |
Выигрыши |
|
|
||||
а1 |
8 |
4 |
0,8+3,6=4,4 |
2 |
10 |
1,8+1=2,8 |
|
а2 |
0 |
8 |
0+7,2=7,2 |
6 |
0 |
5,4+0=5,4 |
|
Таким образом, единодушное решение обоих – а2. Но, как показывает матрица средней полезности, групповое решение – а1.
Таблица 6.9 – Д Матрица средней полезности
Варианты решения |
Средние вероятности исходов |
Полезности по всем (двум) исходам |
|
р1=0,5 |
р2=0,5 |
||
средние выигрыши |
|||
а1 |
5 |
7 |
2,5 + 3,5 = 6,0 |
а2 |
3 |
4 |
1,5 + 2,0 = 3,5 |
Этот парадокс не должен нас удивлять. В жизни также интересы отдельных личностей иногда противоречат интересам коллектива. И когда речь идет о целесообразном риске для группы, то и решение должно приниматься в соответствии с коллективной необходимостью.