1.11.7. Изучение связи между ранжированными признаками

Изучать связь между количественными признаками можно с помощью рангов.

Рангом неповторяющегося значения признака называется его порядковый номер в упорядоченной по неубыванию совокупности значений этого признака.

Рангом повторяющегося значения признака называется арифметическое среднее его порядковых номеров в упорядоченной по неубыванию совокупности значений этого признака.

Признак называется ранжированным, если каждому его значению приписан ранг.

Связь между двумя ранжированными признаками оценивается с помощью коэффициента Спирмена , вычисляемого по формуле

, (1.11.52)

где =  квадрат разности соответствующих рангов, n  число наблюдений.

Если соответствующие ранги совпадают, то =0 и . В этом случае связь – функциональная и прямая.

Если соответствующие ранги образуют обратные последовательности

и ,

то

и .

В этом случае связь – функциональная и обратная.

Таким образом, знак коэффициента Спирмена указывает на направление связи и чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем связь сильнее.

Коэффициент Спирмена проверяют на значимость так же, как и линейный коэффициент корреляции.

Пример 1.11.6. Оценим связь между товарооборотом и издержками обращения (табл. 1.11.23) с помощью коэффициента Спирмена.

Таблица 1.11.23

Товарооборот и издержки обращения, тыс. Руб.

№ магазина	Товарооборот	Издержки обращения
1	480	30
2	510	25
3	530	31
4	540	28
5	570	29
6	590	32
7	620	36
8	640	36
9	650	37
10	660	38

Диаграмма, построенная по данным табл. 1.11.23 (рис. 1.11.3), позволяет предположить наличие прямой связи между товарооборотом и издержками производства, несмотря на то, что в ряде случаев увеличение товарооборота ведет и к уменьшению издержек обращения, что объясняется влиянием на товарооборот других факторов.

Ранжируем данные значения товарооборота y, издержек производства x и вычисляем коэффициент Спирмена, используя сумму в итоговой строке табл. 1.11.24.

Рис. 1.11.3. Товарооборот и издержки обращения (тыс. руб.)

Таблица 1.11.24

Расчетные показатели

Ранги
1	4	9
2	1	1
3	5	4
4	2	4
5	3	4
6	6	0
7	7,5	0,25
8	7,5	0,25
9	9	0
10	10	0
		22,5

.

Так как > , то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между товарооборотом и издержками обращения – прямая и сильная.

Упражнение 1.11.6. По данным упражнения 1.11.1 оцените связь между признаками х и y с помощью коэффициента Спирмена.

В некоторых руководствах (например, [14]) рекомендуется вычислять коэффициент Спирмена по формуле (1.11.52) только в том случае, когда среди рангов результативного признака или фактора нет повторяющихся рангов, а в противном случае применять поправочные коэффициенты. Однако применение этих коэффициентов незначительно изменяет значение коэффициента Спирмена.

Связь между двумя ранжированными признаками, среди рангов которых нет повторяющихся, можно оценить с помощью коэффициента Кендалла , вычисляемого по формуле

, (1.11.53)

где числа Р и Q вычисляются по следующему правилу:

1. в первой строке таблицы записать ранги признака х в порядке возрастания;

2. во второй строке таблицы записать соответствующие ранги признака y;

3. для каждого ранга признака y, записанного во второй строке, подсчитать число рангов, записанных правее и больших этого ранга и найти сумму Р полученных чисел;

4. для каждого ранга признака y, записанного во второй строке, подсчитать число рангов, записанных правее и меньших этого ранга и найти сумму Q полученных чисел;

Коэффициент Кендалла изменяется в пределах от –1 до 1 и равен нулю при отсутствии связи между признаками. При большом числе наблюдений

Пример 1.11.7. Оценим с помощью коэффициента Кендалла связь между ранжированными признаками x и y:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	4	1	5	2	3	6	8	9	7	10

,

,

.

Так как > , то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между признаками  прямая и умеренная (табл. 1.11.1).

Упражнение 1.11.7. По данным упражнения 1.11.1 оцените связь между признаками х и y с помощью коэффициента Кендалла.