1.10.6. Вычисление предельной ошибки (пример 1.10.4)

Упражнение 1.10.7. Отобрано 10 рабочих цеха для определения среднего времени выполнения определенной операции рабочими цеха. Выборочное среднее время оказалось равным 10,4 мин, а выборочное среднеквадратическое отклонение – 2 мин. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,99 находится генеральная средняя.

Приведем следующие формулы для вычисления средней ошибки  большой выборки ():

1) средняя ошибка  случайной повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле

или ; (1.10.19)

2) средняя ошибка  типической повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле

или , (1.10.20)

где – средняя генеральных групповых дисперсий;

3) средняя ошибка  серийной повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле

или , (1.10.21)

где

– генеральная межгрупповая (межсерийная) дисперсия;

r и R  число серий соответственно в выборке и в генеральной совокупности.

Генеральная дисперсия связана с выборочной дисперсией соотношением

. (1.10.22)

При больших значениях n генеральная дисперсия приближенно равна выборочной дисперсии.

Предельная ошибка большой выборки вычисляется по формуле (1.10.15), где коэффициент определяется из соотношения .

Напомним, что выборочное среднее значение альтернативного признака равно выборочной доле единиц в выборке, обладающих этим признаком (), а выборочная дисперсия равна произведению .

Пример 1.10.5. При проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5%-е выборочное обследование партии нарезных батонов. Из 100 отобранных в выборку батонов 90 батонов оказались стандартными. Средний вес одного батона в выборке составил 500,5 г при среднеквадратическом отклонении г. Найдем с вероятностью 0,95 доверительные интервалы для доли стандартных батанов и среднего веса одного батона во всей партии.

По условию выборочная доля:

.

Было проведено 5%-е выборочное обследование, следовательно, во всей партии  2000 батонов. Так как выборка бесповторная механическая или случайная, средняя ошибка выборочной доли равна:

.

Из соотношения , используя табл. П2, найдем доверительный коэффициент: .

Вычислим предельную ошибку: .

Найдем доверительный интервал (1.10.16):

или .

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доля стандартных батонов во всей партии батонов находится в интервале от 0,84 до 0,96.

Вычислим среднюю и предельную ошибки выборочного среднего веса одного батона:

1,5 и .

Найдем доверительный интервал (1.10.16):

или .

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средний вес одного батона во всей партии батонов находится в интервале от 497,6 г до 503,4 г.

Упражнение 1.10.8. Дано распределение пачек чая по весу в выборке из партии чая (табл. 1.10.11).

Таблица 1.10.11