- •1.Введение
- •1.1 Задачи и методы сопротивления материалов.
- •1.2 Классификация сил, действующих на элементы конструкций.
- •1.3 Основные предпосылки науки о сопротивлении материалов.
- •1.4 Реальный объект и расчетная схема.
- •1.5 Внутренние силы. Метод сечений.
- •1.6 Напряжения.
- •1.7 Деформации и перемещения.
- •1.8 План решения основной задачи сопротивления материалов.
- •2. Растяжение и сжатие
- •2.1 Продольная сила
- •2.2 Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным и наклонным к оси стержня.
- •2.3 Допускаемые напряжения. Подбор сечений.
- •2.4 Продольные и поперечные деформации
- •2.5 Диаграммы растяжения и сжатия
- •2.6 Основные механические характеристики материала
- •2.7 Работа силы при ее статическом действии. Потенциальная энергия деформации
- •2.9 Перемещения поперечных сечений брусьев
- •2.10 Допускаемые напряжения. Расчеты на прочность.
- •2.11 Статически неопределимые системы
- •3.Сложное напряжённое состояние.
- •3.1Виды напряженного состояния.
- •3.2Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении или сжатии (линейное напряжённое состояние).
- •3.3Понятие о главных напряжениях. Виды напряжённого состояния материала.
- •3.4Напряжения при плоском напряжённом состоянии.
- •3.5 Графическое определение напряжений (круг Мора).
- •3.6 Нахождение наибольших напряжений для объёмного напряжённого состояния.
- •3.8 Понятие о теориях прочности.
- •3.9 Проверка прочности по различным теориям.
- •4.1 Понятие о сдвиге. Расчёт заклепок на перерезывание.
- •4.2 Проверка заклёпок на смятие и листов на разрыв.
- •4.3 Расчёт сварных соединений.
- •4.4 Чистый сдвиг. Определение главных напряжений и проверка прочности.
- •4.5 Связь между напряжениями и деформацией при чистом сдвиге. Потенциальная энергия сдвига.
- •5.1 Основные понятия. Крутящий момент.
- •5.2 Определение напряжений при кручении круглого вала.
- •5.3 Вычисление полярных моментов инерции и моментов сопротивления сечения вала.
- •5.4 Условие прочности при кручении.
- •5.5 Определение деформаций при кручении.
- •5.6 Потенциальная энергия при кручении.
- •5.7 Определение предельной грузоподъёмности скручиваемого стержня.
- •6.8 Напряжения и деформации в винтовых пружинах с малым шагом.
- •5.9 Статически неопределимые задачи при кручении
- •6. Изгиб
- •§ 6.1. Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях бруса при изгибе
- •§ 6.2. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •§ 6.3. Напряжения при поперечном изгибе
- •§ 6.4. Дифференциальное уравнение упругой линии балки. Перемещения при изгибе
- •§ 6.5. Универсальное уравнение упругой линии балки
- •§6.6 Контроль правильности построения эпюр q и m.
- •§6.7. Способ сложения действия сил при построении эпюр.
- •§6.8. Графический метод построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
- •7. Вычисление моментов инерции плоских фигур.
- •§7.1. Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.
- •§7.2. Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
- •§ 7.3. Подбор сечения балок по допускаемым нагрузкам.
- •§7.4. Применение понятия о потенциальной энергии к определению деформаций.
- •§ 7.5. Вычисленние потенциальной энергии.
- •§7.6. Теорема Кастильяно.
- •§7.7 Статически неопределимые балки.
- •§7.8. Способ сравнения деформаций.
- •§7.9. Применение теоремы Кастильяно, теоремы Мора
- •§7.10. Выбор лишней неизвестной и основной системы.
- •§7.11. План решения статически неопределимой задачи.
- •8. Косой изгиб
- •§8.1. Основные понятия.
- •§8.2. Косой изгиб. Вычисление напряжений.
- •§8.3. Определение деформаций при косом изгибе
- •9. Совместное действие изгиба и растяжения или сжат
- •9.1 Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
- •9.3. Ядро сечения
- •10.Совместное действие кручения и изгиба
- •11.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня
- •12.1. Введение»
- •12.2 Вычисление напряжений при равноускоренном движении
- •12.3 Расчёт вращающегося кольца (обод маховика)
2.2 Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным и наклонным к оси стержня.
Решение основной задачи сопротивления материалов мы начнём с простейшего случая растяжения или сжата, призматического стержня.
Центральным растяжением или сжатием этого стержня называется деформация его под действием двух равных и прямопротиво
По общему плану решения всякой задачи, сопротивления материалов мы прежде всего должны найти величину этих внешних сил Р, растягивающих стержень. Величина сил Р обычно может быть определена из условий взаимодействия рассматриваемого стержня с остальными частями конструкции.
Для вычисления напряжений необходимо выбрать те разрезы, которыми мы будем разделять стержень на две части. Для проверки прочности следует отыскать опасное сечение, т. е. то, через которое передаётся наибольшее напряжение. Мы установим формулы для вычисления напряжений сначала по сечениям, перпендикулярным к оси стержня, а в дальнейшем и по наклонным сечениям; таким путем мы сумеем отыскать наиболее опасное сечение.
Возьмем растянутый стержень и разделим его на две части поперечным сечением mn (рис 2.5), перпендикулярным к оси. Отбросим вторую часть; тогда, чтобы равновесие первой не было нарушено, мы должны заменить действие огорошенной части силами, передающимися на оставшуюся часть через сечение (рис 2.6). Заменяющие
Рис. 2.5 Рис. 2.6
силы будут уравновешивать внешнюю силу Р, поэтому они должны сложиться в равнодействующую1) Рн, равную Р, направленную по оси стержня в сторону, противоположную внешней силе (рис.2.6). Эта равнодействующая Рн будет усилием, действующим в стержне.
Таким образом, условия равновесия оставшейся части дают нам лишь величину равнодействующей внутренних сил, передающихся по сечению mn, её направление и точку приложения, но не могут указать, как распределяются напряжения по площади сечения, т. е. какие силы будут передаваться через различные квадратные единицы этой площади. Между тем, для оценки опасности, угрожающей прочности материала, необходимо найти наибольшее напряжение, отыскать ту квадратную единицу площади, через которую передаётся наибольшая сила.
Опыты с растяжением стержней из различных материалов показывают, что если растягивающие силы достаточно точно совпадают с осью стержня, то удлинения прямых линий, проведённых на поверхности стержня параллельно его оси, будут одинаковы. Отсюда возникает предположение о равномерном распределении напряжений по сечению.
Эти напряжения направлены параллельно силе Р, т.е. нормально к сечению; поэтому их называют нормальными напряжениями и обозначают буквой σ.
Так как они распределены равномерно по площади сечения, то Рн = σ F, с другой стороны, РН = Р; отсюда получаем
Эта формула позволяет нам вычислить напряжение σ, если известны растягивающая сила и размеры сечения стержня. С другой стороны, если мы зададимся допустимой величиной нормального напряжения, из этой же формулы можно будет найти необходимую площадь поперечного сечения F.
Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.
Обозначим угол между наклонным сечением n-n1 и поперечным сечением n-n2 (рис. 2.7, а). Угол условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.
Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же, как и поперечного) сечения одинаковы.
Рис. 2.7
Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением n-n1 (рис. 2.7, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения р параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила , действующая в сечении n-n1, равна Р. Здесь – площадь наклонного сечения n-n1, равная (где F – площадь поперечного сечения n-n2 бруса).
Следовательно,
где - нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.
Разложим напряжение р на два составляющих напряжения: нормальное , перпендикулярное к плоскости сечения n-n1, и касательное , параллельное этой плоскости (рис. 2.7, в).
Значения и получим из выражений
Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На (рис. 2.7, в) показано положительное касательное напряжение , а на (рис. 2.7, г) – отрицательное.
Из формулы (2.5) следует, что нормальные напряжения имеют значения от (при ) до нуля (при ). Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения имеют место в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.
Рис. 2.8
Из формулы (2.5) следует, что касательные напряжения имеют значения от (при ) до (при ); отрицательный угол показан на рис. 2.7, г. Значение равно нулю при (т.е. в поперечных сечениях бруса) и при . Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.
Определим значение касательных напряжений и в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 2.8). Углы и наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости
По формуле (2.6)
Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку.