§6.7. Способ сложения действия сил при построении эпюр.

Рассматривая выражения для M и Q, полученные нами в последних задачах, мы видим, что внешние нагрузки входят в эти выражения первой степени; M и Q линейно зависят от нагрузок.

Рассматривая, например, уравнение (12.19) (стр.247) для :

Мы видим, что ординаты изгибающего момента в сечениях этого участка складываются из двух: -P x и , первая из них представляет собой изгибающий момент ,вызванный в выбранном сечении силой Р ,а вторая - нагрузкой q.

Мы могли бы построить отдельно эпюры моментов от силы Р и от нагрузки q, а потом ординаты этих эпюр алгебраически сложить. Это было бы применением так называемого способа сложения действия сил.

Пример. Эпюра для консоли от распределенной нагрузки имеет вид параболы с наибольшим (по абсолютной величине) значением момента в защемлении min .

От сосредоточенной силы, приложенной на свободном конце балки, изгибающий момент изменяется по закону прямой:

При x =0 x=l .

Чтобы сложить ординаты двух графиков одинакового знака, следует приложить их один к другому, как это показано на рис. 6.34 а, для чего один из графиков ( ) отложен вверх. Изгибающий момент в любом сечении складывается из моментов

Если сила Р направлена вверх, то изменяется знак . Для сложения двух графиков, имеющих разные знаки, достаточно наложить один график на другой (рис. 6.34, б).

Пусть по абсолютному значению min , т.е.

При наложении графиков автоматически вычтутся, и в данном случае мы получим в защемлении отрицательную ординату, в пролете же на некотором протяжении ординаты будут положительными.

Разумеется, для графического суммирования необходимо оба графика строить в одном и том же масштабе. Аналогично можно построить эпюру Q. Этот приём сложения эпюр удобен при расчете статически неопределимых неразъемных балок.

Для приведения эпюры к обычному виду можно полученные суммарные ординаты отложить от горизонтальной оси x (рис. 6.34, б).

§6.8. Графический метод построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Если на балку действует много нагрузок, как сосредоточенных, так и распределенных то часто с успехом можно применить графический способ построения эпюр. При известной аккуратности в построении чертежа решение оказывается достаточно точным для целей практики.

Рассмотрим балку АВ нагруженную вертикальными силами Р₁, Р₂, Р₃ (рис. 6.35). Аналитические выражения для изгибающего момента и

поперечной силы будут для сечения 1-1 такими :

Для сечения 2-2 получаем:

Для графического определения М и Q в этих же сечениях построим силовой и веревочный многоугольники при произвольно выбранном полюсном расстоянии Н. Полюсное расстояние в плане сил откладывается в том же масштабе, что и силы Р₁, Р₂, Р₃(например, в 1 см f кг). Веревочный же многоугольник, непосредственно связанный с чертежом балки, имеет тот же масштаб ординат, в каком изображена балка (например, в 1 см n пог. м).

Так как силы, действующие на балку (включая и реакции), находятся в равновесии, то оба многоугольника (силовой и веревочный) должны быть замкнуты. Поэтому, вычертив в поле сил линии, параллельные лучам силового многоугольника, проводим, как этого требуют известные правила механики, между крайними линиями α-1 и 3-β замыкающую верёвочного многоугольника А-В.

Проводя затем в многоугольнике сил луч АВ ,параллельный замыкающей ,получим отрезки ab и bc, представляющие в масштабе сил опорные реакции А и В.

Если провести вертикаль через сечение балки 1-1 до пересечения со сторонами веревочного многоугольника, то получим ординату ,образующую со сторонами α-1 и АВ треугольник, подобный треугольнику Оab в силовом многоугольнике. Из подобия треугольников можно написать:

Но произведение Следовательно,

Нетрудно также доказать (из рассмотрения треугольников, образуемых продолжением вертикали 2-2 со сторонами веревочного многоугольника и подобных им в многоугольнике сил), что

И вообще

Иначе говоря, изгибающий момент в любом сечении балки равен произведению полюсного расстояния Н, взятого в масштабе сил ,на ординату 𝜼 веревочного многоугольника в том же сечении ,измеренную в масштабе длин. Значит, веревочный многоугольник представляет собой эпюру М, ординаты которой отсчитываются по вертикали от наклонной замыкающей и равны .

Чтобы придать эпюре М обычный вид, можно её переустроить, откладывая те же ординаты 𝜼 от горизонтальной нулевой оси. Если опорные реакции А и В подсчитаны аналитически, то, поместив полюс на горизонтали, отделяющей А от В в многоугольнике сил, сразу получим замыкающую горизонтальной (параллельной горизонтальному лучу А-В ).

Построение эпюры Q ясно из чертежа. Проведя прямую, параллельную нулевой оси, на расстоянии (в масштабе сил), равном крайней левой силе (реакции А), сносим затем (сохраняя масштаб) все остальные силы по линии и по направлению их действия, как это показано на рис. 6.35. Получим ступенчатую эпюру поперечных сил, каждая ордината которой имеет тот же масштаб, что и многоугольник сил.

В случае, если балка загружена сплошной нагрузкой (рис. 6.36), графическое построение эпюр М и Q может быть выполнено лишь приближенно. Разделяя сплошную нагрузку вертикалями на несколько частей и заменяя каждую часть равнодействующей (равной соответствующей грузовой площади w), строим эпюры М и Q с помощью силового и веревочного многоугольников для системы сосредоточенных сил ω1,ω2,ω3 и т.д., как это было сделано выше. Эпюра Q получится ступенчатой, а эпюра М – в виде ломаного многоугольника.

Чтобы привести полученные графики к виду ,отвечающему истинному очертанию эпюр М и Q следует:

А) для эпюры М вписать в верёвочный многоугольник кривую, так как в пределе, при бесконечном увеличении числа равнодействующих сил w, веревочный многоугольник обращается в верёвочную кривую и касается многоугольных участков в точках деления;

Б) для эпюры Q заменить ступенчатую эпюру одной линией, проходящей через точки, в которых горизонтальные участки эпюры Q пересекаются с вертикалями, разбивающими нагрузку на части.

Особенностью графического построения эпюры изгибающего момента для консоли является то, что замыкающая АВ заменяется продолжением первого луча α-1,от которого и ведутся отсчеты ординат 𝜼 (фиг.178). Выбрав в этом случае положение полюса О так, чтобы первый луч был горизонтален, сразу получаем эпюру М, приведенную к горизонтальной оси.