4.5 Связь между напряжениями и деформацией при чистом сдвиге. Потенциальная энергия сдвига.

В дальнейшем, при изучении кручения, нам придётся встретиться с вопросом о деформациях, которые возникают в элементах материала при действии на него касательных напряжений. Пока речь идёт о расчёте заклепок . и болтов, изучение этих деформаций практического значения не имеет и осложняется вдобавок тем, что во всех этих соединениях мы имеем в действительности гораздо более сложное распределение касательных напряжений, чем то, которое было положено в основу наших расчетов по проверке прочности.

Рис. 4.18

Однако общий характер этой деформации может быть выяснен и на примере хотя бы той же заклепки. Выделенный из стержня заклёпки очень тонкий слой материала (Рис.4.18) стремится при действии на него касательных напряжений перекоситься; этот перекос и является характерным для деформации сдвига. Изучить связь этого перекоса с напряжениями 𝜏 в заклёпке невозможно, ибо мы не знаем действительного закона распределения касательных напряжений по поперечному сечению заклепки. Поэтому мы будем изучать деформацию при действии касательных напряжений на элементе, испытывающем чистый сдвиг (фиг. 118).

Если мы закрепим грань АВ этого элемента неподвижно, то под действием касательных напряжений грань СD сдвинется параллельно АВ на некоторую величину DD1=CC1=∆s, называемую абсолютным сдвигом. Элемент АВСD

перекосится, прямые углы обратятся в острые или тупые, изменившись на величину γ. Этот угол называется относительным сдвигом, или углом сдвига, и служит мерой искажения (перекоса) углов прямоугольника. Поскольку в конструкциях мы имеем дело лишь с упругими деформациями, этот угол будет весьма малым.

Рис 4.19

Относительный сдвиг связан по своей величине с абсолютным сдвигом и расстоянием α между плоскостями АВ и СD:

γ=tgγ=∆sa

т. е. относительный сдвиг равен абсолютному, делённому на расстояние между сдвигающимися плоскостями; выражается он в радианах.

Можно показать, что величина относительного сдвига будет пропорциональна напряжениям 𝜏; таким образом, именно относительный сдвиг, величина перекоса элемента, и является тем, что характеризует числовым образом деформацию сдвига.

Для установления зависимости между γ и τ рассмотрим Рис.4.19. При перекосе нашего элемента диагональ АD удлиняется. Это удлинение можно связать, с одной стороны, с действующими напряжениями, с другой — с относительным сдвигом; комбинируя обе зависимости; найдём связь между γ и τ.

На фиг. 118 абсолютное удлинение диагонали мы получим, если из точки А радиусом, равным АD, сделаем засечку на новом положении этой диагонали — AD1. Тогда получаем прямоугольный треугольник DD1D2, в котором сторона DD1 — абсолютный сдвиг ∆s, сторона D2D1 — удлинение диагонали ∆l ; угол при точке D1 может быть по малости деформаций принят равным 45°. Тогда

∆l=∆scos45°.

Относительное удлинение диагонали

ε=∆ll, где l=αsin45°

Следовательно,

ε=∆sαcos45°sin45°

Так как ∆sα=γ, а cos45°sin45°=0.5, то

ε=12γ (4.12)

С другой стороны, относительное удлинение диагонали, вызванное действием главных напряжений σ1=τ и σ3=-τ, может быть выражено формулой:

ε=ε1=σ1E-μσ3E=τE1+μ.

Подставляя это значение ε в формулу (4.12), получим:

τE1+μ=12γ

Откуда

τ=E2(1+μ)γ. (4.13)

Таким образом, относительный сдвиг γ и касательное напряжение 𝜏 друг другу пропорциональны, т. е. и при сдвиге напряжение и соответствующая ему относительная деформация связаны законом Гука.

Величину E2(1+μ) обозначают буквой G и называют модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига. Числовые величины G для различных материалов приведены в таблице в конце книги (Приложение VII).

Формула (10.20) принимает вид:

τ=γG (4.14)

и мы имеем полную аналогию в формулах, связывающих напряжение и относительную деформацию при растяжении и сдвиге:

σ=εE; τ=γG

Величину G можно вычислить по формуле

G=E2(1+μ) (4.15)

но можно найти и прямым путём в опыте на кручение.

Величина абсолютного сдвига зависит не только от величины касательных напряжений, но и от размеров выделенного элемента. Назовём площадь граней, по которым действуют касательные напряжения, F; расстояние между параллельными гранями обозначено через а (фиг. 118). Абсолютный сдвиг равен

∆s=αγ=ατG, где τ=QF

следовательно,

∆s=QαGF (4.16)

Абсолютный сдвиг прямо пропорционален сдвигающей силе, расстоянию между сдвигаемыми гранями и обратно пропорционален площади сечения этих граней и модулю упругости при сдвиге т. е. мы имеем формулу, выражающую закон Гука для деформации сдвига, вполне подобную формуле для вычисления абсолютного удлинения при растяжении:

∆l=PlEF

Так как в формуле (4.15) для модуля сдвига из трёх так называемых упругих постоянных E, μ и G независимыми являются лишь две, третья может быть выражена через первые. Эта особенность является характерной для изотропного материала, свойства которого во всех направлениях одинаковы.

Заметим, что при деформации сдвига изменение объёма элемента материала равно нулю. Теперь можно подсчитать также и потенциальную энергию при чистом сдвиге. Считая, что сила Q приложена статически, можем выразить работу этой силы на перемещении ∆s:

A=12Q∆s

(половина вошла в формулу для A, так как сила возрастает от нуля до конечного значения постепенно, — работа выражается площадью треугольника). Подставив значение ∆s (10.23), получим:

U=Q2α2GF=τ2αF2G (4.17)

Поделив на объём v=aF, найдём значение удельной потенциальной энергии при чистом сдвиге:

u=Uγ=τ22G (4.18)

К такому же результату можно было прийти рассматривая чистый сдвиг как сложное напряженное состояние при главных напряжениях: σ1=τ, σ2=0, σ3=-τ.

КРУЧЕНИЕ