§ 6.3. Напряжения при поперечном изгибе

Мы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении бруса возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 6.19). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений 𝜏 сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. Поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения бруса не остаются плоскими. На рис. 6.20 показана типичная картина искривления поперечных сечений бруса.

Рис. 6.19

Рис. 6.20

Однако на величине нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила Q не меняется по длине бруса, формулы (6.6) и (6.8)

выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при искривление всех сечений происходит одинаково (рис. 6.21). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским или нет.

При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси бруса, формулы чистого изгиба дают для некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что величина этой погрешности имеет порядок по сравнению с единицей, где h —размер поперечного сечения в плоскости изгиба, а — длина бруса. По определению, характерной особенностью бруса является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, величина относительно мала и соответственно малой оказывается указанная погрешность.

Рис. 6.21

Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшим считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны бруса.

Рис. 6.22

Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т. е. напряжений «надавливания» между слоями. (Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе и имеют весьма малую величину).

Таким образом, в пределах указанных пренебрежений формулы (6.6) и (6.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (6.5), дающая зависимость кривизны бруса от изгибающего момента.

Тепёрь определим приближенно величину касательных напряжений при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях бруса. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 6.22, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину . Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 6.22, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади F* равна, очевидно,

или согласно формуле (6.6)

где через обозначена в отличие от текущая ордината площадки (рис. 6.22, б). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня ). Обозначим этот статический момент через . Тогда

.

В правом сечении нормальная сила будет другой

Разность этих сил

должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в произвольном сечении элемента (рис. 6.22, б и в).

В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно. Тогда

откуда

(6.12)

Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, впервые давшего общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.

Полученное выражение позволяет вычислить величину касательных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса. Напряжения в поперечных сечениях равны им, как парные. Зависимость от в сечении определяется через статический момент . При подходе к верхней кромке сечения площадь заштрихованной части сечения (рис. 6.22, 6) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, . При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось — центральная, то и здесь . Поэтому касательные напряжения, как это следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю.

Рис. 6.23

Для бруса прямоугольного сечения, со сторонами и (рис, 6.23. а) имеем

Следовательно,

и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при

Для бруса круглого сечения (рис. 6.23, б) путем несложной операции интегрирования можно найти

Кроме того,

Откуда

И

Для бруса, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой h (рис. 6.23,б), имеем:

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной оси:

Рис. 6.24

В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но также и по оси х. Действительно, примем, как это делалось выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 6.24), касательное напряжение направленное по оси у. Разложим вектор на две составляющие — по нормали к контуру и по касательной . По условиям нагружения внешняя поверхность бруса свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные , отсутствуют. Следовательно, , а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что направлено по оси y, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих по оси . Для определения этих составляющих следует прибегать к более сложным приемам, нежели рассмотренные. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие по оси играют существенно меньшую роль, нежели составляющие по оси .

Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а для нетонкостенных сечений имеет величину порядка

Можно произвести сопоставление абсолютных величин максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях бруса. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 6.25) имеем:

откуда

Рис. 6.25

Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине бруса, т. е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная порядковая оценка, за небольшими возможными исключениями, сохраняется, вообще, для всех нетонкостенных балок.

В связи с малостью величины расчет на прочность при поперечном изгибе производится только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимаются. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, т. е. в наиболее опасных точках, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.

Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им в продольных сечениях напряжения, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности бруса.

Рис. 6.26

Например, при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т. е. там, где имеет место (рис. 6.26).

Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями бруса при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба бруса меняется. Например, в брусе, составленном из п листов (рис. 6.27, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна Р/n, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно

Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами (рис. 6.27, б), брус будет изгибаться как целый. В этом случае величина наибольшего нормального напряжения оказывается в п раз меньшей, т. е.

Рис. 6.27

Иными словами, связанный пакет листов способен в первом приближении выдержать нагрузку в n раз большую, чем не связанный.

В поперечных сечениях болтов при изгибе бруса возникают поперечные силы. Наибольшая поперечная сила будет в сечении, совпадающем с нейтральной плоскостью изогнутого бруса (сечение АА рис. 6.27,б). Величина этой силы определяется в первом приближении из простого равенства сумм поперечных сил в сечениях болтов и продольной равнодействующей касательных напряжений в случае целого бруса:

где число болтов.

Интересно сопоставить изменение кривизны бруса в заделке по формуле (6.5) в случае связанного и несвязанного пакетов. Для связанного пакета

Для несвязанного пакета

Пропорционально изменениям кривизны меняются и прогибы

таким образом, по сравнению с целым брусом набор свободно сложенных листов оказывается в раз более гибким и только в раз менее прочным. Это различие в коэффициентах снижения жесткости и прочности при переходе к листовому пакету используется на практике при создании гибких рессорных подвесок. Силы трения между листами повышают жесткость пакета, так как частично восстанавливают касательные силы между слоями бруса, устраненные при переходе к листовому пакету. Рессоры нуждаются поэтому в смазке листов и должны оберегаться от загрязнения.