5.2 Определение напряжений при кручении круглого вала.

А. Построив эпюру крутящих моментов, мы можем найти величину крутящего момента в любом сечении вала. Чтобы найти напряжения, вызываемые крутящим моментом в сечении, воспользуемся основным методом решения задач сопротивления материалов- методом сечений.

Однако прежде чем приступить к решению поставленной задачи, обратимся к рассмотрению результатов опытных исследований.

Опыты показывают, что при скручивании вала круглого сечения парами М_к (Рис.5.6) происходит следующее.

Все образующие поворачиваются на один и тот же угол γ, а квадраты, нанесёнпые на поверхность вала, перекашиваются, обращаясь в ромбы, т. е. подвергаются деформации сдвига.

Каждое поперечное сечение поворачивается относительно другого вокруг оси вала на некоторый угол, называемый углом закручивания. Величина этого угла пропорциональна величине крутящего момента и расстоянию между сечениями.

Торцевое сечение остаётся плоским, а контуры всех проведенных сечений не искажаются (круги остаются кругами).

Радиусы, нанесённые на торцевом сечении, после деформации не искривляются.

Рис.5.6

Расстояния между смежными сечениями практически не меняются, т. е. сечения 1—1 и 2—2, поворачиваясь друг относительно друга на угол ∆φ, сохраняюг между собой расстояние ∆x.

Таким образом, результаты опытов показывают, что при кручении стержень представляет как бы систему жёстких кружков, насаженных центрами на общую ось O1O2.При деформации все эти кружки, не меняя своего вида, размеров и взаимных расстояний, поворачиваются один относительно другого.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях.

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений); они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3. Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются.

Формулы, выведенные на основе этих положений, совпадают с формулами, полученными точными методами теории упругости, и подтверждаются экспериментально.

Теперь перейдём к отысканию напряжений, действующих по сечениям, перпендикулярным к оси вала. Разрежем мысленно (Рис.5.7) скручиваемый стержень O1O2на две части I и II сечением 1-1, перпендикулярным к оси вала и находящимся на рас стоянии х от сечения O1. Отбросим часть II стержня и оставим часть I; на нее действует из внешних сил лишь один момент Mк , приложенный к сечению O1.

Оставленная часть стержня находится в равновесии под действием этого момента и сил в сечении 1-1, передавающихся от отброшенной отсеченной части на оставленную (Рис.5.7).

Так как силы в сечении уравновешивают внешнюю пару Mк, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси Ox, т.е. в плоскости сечения 1-1. Следовательно, эти силы и соответствующие напряжения касательны к сечению и перпендикулярны к радиусам (Рис.5.7).

Составим условие равновесия оставленной части I в форме уравнения моментов всех сил относительно оси O1O:

Mк-∑Mτ=0, или Mк=∑Mτ.

Рис.5.7

Для вычисления ∑Mτ - суммы моментов сил, действующих в сечении 1-1 , возьмем любую точку сечения в расстоянии ρ от центра круга и выделим вокруг неё элементарную площадку dF.

Тогда усилие, приложенное к ней, будет dP=τρdF, где τρ — касательное напряжение в рассматриваемой точке. Момент же этого усилия относительно точки О равен:

dMτ=τρdFρ

Считая площадку dF бесконечно малой, можно найти сумму моментов всех сил, как определённый интеграл, распространённый по площади сечения:

∑Mτ=FτρdFρ

или, используя составленное ранее уравнение равновесия, получим:

FτρρdF=Mк (5.3)

Однако найти из полученного уравнения величину τ мы пока не можем, так как ещё не знаем, как распределяются касательные напряжения по сечению.

В. Уравнения статики не дают возможности довести до конца решение задачи определения напряжений по сечению 1—1. Задача оказывается статически неопределимой, и для окончания её решения нам придётся обратиться к рассмотрению деформаций стержня, показанных на Рис. 5.6 и рис. 5.8

Выделим (Рис. 5.8) на поверхности скручиваемого стержня до его деформации двумя смежными образующими ab и cd и двумя контурами смежных сечений 1—1 и 2—2 прямоугольник АВDС.

Рис.5.8

После деформации оба сечения, 1—1 и 2—2, повернутся относительно защемлённого конца на углы φx (сечение 1—1) и φx+dφ (сечение 2—2). На основании принятых гипотез оба сечения останутся плоскими, радиусы O2B и O1A, O1C, O2BD останутся прямыми, а расстояние dx между сечениями 1—1 и 2—2 останется без изменения. При таких условиях весь элемент ABDCO1O2 сместится и перекосится, так как его правая грань, совпадающая с сечением 2—2, повернется на угол dφ относительно левой, совпадающей с сечением 1—1. Прямоугольник АВDС займет положение, показанное на Рис.5.8 штриховкой. Перекошенный элемент A1B1D1C1O1O2 показан на Рис.5.9; там же пунктиром изображен вид этого элемента, если бы он не испытал перекоса, т. е. если бы его левая и правая грани обе повернулись на один и тот же угол.

Рис.5.9

Перекос, вызванный неодинаковым поворотом сечений 1—1 и 2_2, обращает прямые углы прямоугольника АВDС в тупые и острые; материал нашего элемента испытывает деформацию сдвига (Рис.5.6 и Рис.5.8). Величина этой деформации будет характеризоваться углом перекоса — относительным сдвигом; на поверхности стержня в прямоугольнике A1B1D1C1 этот угол будет равен BA1B1 он обозначен на Рис.5.9 буквой γ.

Как известно, деформация сдвига сопровождается возникновением касательных напряжений по граням перекашиваемого элемента.

На Рис.5.9 изображены эти напряжения, действующие на площадки, выделенные на правой грани (поперечное .сечение 2 — 2) и горизонтальной поверхности элемента A1B1D1C1O1O2. Величину этих напряжений мы можем выразить через относительный сдвиг γ характеризующий перекос прямоугольника A1B1D1C1, по формуле: τ=γG.

Так как абсолютный сдвиг элемента на поверхности вала равен BB'=rdφ,

а относительный сдвиг γ=BB'A1B=rdφdx, то напряжение у точки B1 будет: τB=Gγ=rGdφdx.

Найдем теперь напряжение τ в какой-нибудь другой точке сечения L1 отстоящей от центра на расстоянии ρ (ис.5.9). Для этого нужно найти величину относительного сдвига, который испытывает материал у точки L1. На Рис.5.9 показан относительный сдвиг — угол перекоса LKL1обозначенный γρ. Он будет меньше, чем относительный сдвиг τ на поверхности стержня. Повторяя те же рассуждения, что и при вычислении γ, мы найдём, что γρ=ρdφdx, и получим:

τρ=ρGdφdx (5.4)

Относительный сдвиг и касательное напряжение в каждой точке поперечного сечения скручиваемого стержня прямо пропорциональны расстоянию ρ этой точки от центра сечения. Графически этот закон изменения касательных напряжений выражается прямой линией (Рис.5.10).

Наибольшего значения τ достигают в точках, лежащих у самого края сечения, и обращаются в нуль в центре.

Таким образом, найден закон распределения касательных напряжений по поперечным сечениям скручиваемого стержня.

Рис.5.10

Г. Величина касательных напряжений теперь может быть найдена из уравнения (11.5), выражающего условие равновесия отсеченной части.

Подставляя вместо τ его значение (5.4) и вынося за знак интеграла величину Gdφdx, постоянную при интегрировании по площади, получим:

GdφdxFρ2dF=Mк

Fρ2dF, т. е. сумма произведений из элементарных площадок на квадраты расстояния их до точки 0, называется полярным моментом инерции и обозначается Jp. Тогда

GdφdxJp=M

откуда угол закручивания на единицу длины вала (относительный угол закручивания) равен:

dφdx=MкJp (5.5)

Подставляя это в уравнение (5.4), получим:

τρ=MкJpρ (5.6)

Наибольшего значения напряжения достигнут в точках сечения у поверхности вала при ρ=ρmax=r:

τmax=MкρmaxJP=MкrJP (5.7)

Формулу для τmax можно представить в ином виде:

τmax=MкρmaxJP=Mк(Jpρmax)=MкWp (5.8)

Отношение Jpρmax=Wp называется моментом сопротивления при кручении; так как момент инерции JP выражается в единицах длины в четвертой степени, то момент сопротивления Wp измеряется в единицах длины в третьей степени.