§8.3. Определение деформаций при косом изгибе

Для определения прогибов в различных сечениях балки при косом изгибе опять применим способ сложения действия сил. Возвращаясь к примеру, .

Полный прогиб f конца балки будет представлять собой геометрическую (Рис. 8.6) сумму обоих этих прогибов; он равен

.

При этом

и

.

Отсюда следует, что угол, составленный полным прогибом f с осью z, равен углу , т.е. прогиб f направлен перпендикулярно к нейтральной оси. Изгиб балки происходит не в плоскости действия внешних сил, а в плоскости, перпендикулярной к нейтральной оси (Рис. 8.6). Условимся принимать за ось у главную ось с наибольшим моментом инерции; тогда плоскость х Oz будет плоскостью наибольшей жёсткости, поскольку прогибы при изгибе балки в этой плоскости будут наименьшими. Так как при J_y > J_z, как в рассмотренных примерах, и >, то плоскость изгиба отклоняется от плоскости наибольшей жёсткости больше, чем плоскость внешних сил. Эта разница будет тем большей, чем больше отношение . Значит, для узких и высоких сечений, у которых отношение главных моментов инерции может быть весьма велико, уже небольшое отклонение плоскости действия внешних сил от плоскости наибольшей жёсткости вызывает весьма значительное отклонение плоскости изгиба балки.

Пока для балки такого сечения внешние силы расположены в плоскости наибольшей жёсткости xOz, прогибы будут лежать в той же плоскости и будут небольшими, так как момент инерции J_у будет значительным. Стоит дать плоскости внешних сил отклонение от оси Oz на небольшой угол , как сейчас же возникнут уже большие прогибы в направлении оси у, на которые очень часто конструктор и не рассчитывает. Прогибы же в направлении оси z будут оставаться почти без изменения. Для оценки этого явления рассмотрим числовой пример. Возьмём деревянную балку с сечением (Рис. 8.2), имеющим высоту h = 20 см, ширину b = 6 см; тогда

см⁴; см⁴.

Отношение моментов инерции равно

.

Тогда при отклонении плоскости действия внешних сил от оси z всего на 5° будем иметь:

tg  = tg  = 0,0875  11 = 0,963

и

  44°.

Прогибы в направлении оси y будут почти равны прогибам в направлении оси z:

f_y = f_g tg  = 0,963 f_g.

Вместе с тем, при отклонении силы от плоскости наибольшей жесткости произойдет и значительное повышение нормальных напряжений. Так, в рассмотренном выше примере наибольшие нормальные напряжения (по сравнению со случаем плоского изгиба при  = 0) увеличатся в отношении:

.

На Рис. 8.7 изображено относительное расположение плоскостей нагрузки, изгиба и нейтральной.

Балки, главные моменты инерции сечений которых значительно отличаются друг от друга, будут хорошо работать при изгибе в плоскости наибольшей жёсткости (высокие прямоугольники, двутавры швеллеры), но окажутся невыгодными при косом изгибе. Поэтому в тех случаях, когда трудно рассчитывать па достаточно точное совпадение плоскости внешних сил с главной плоскостью балки, конструктор должен избегать применения подобных сечений или принимать дополнительные конструктивные меры (постановка связей), чтобы воспрепятствовать боковым деформациям балок при наличии косого изгиба.

При подборе сечений приходится задаваться отношением и, зная [], М_mах и угол , путём последовательных попыток искать значения W_y и W_z, удовлетворяющие условию прочности. В случае несимметричных сечений, не имеющих выступающих углов, т.е. при использовании условия прочности, при каждой новой попытке подбора сечения необходимо предварительно вновь найти положение нейтральной линии и координаты наиболее удалённой точки (у₁ и z₁). В случае прямоугольного сечения ; поэтому, задаваясь отношением , из условия (26.7) без затруднений можно найти величину W_v и размеры поперечного сечения.

Уравнение (8.1) показывает, что углы  и  не равны, т.е. нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости внешних сил, как это было при плоском изгибе. Эта перпендикулярность имеет место лишь при

J_y = J_z,

но в этом случае все оси главные, и косой изгиб невозможен; в какой бы плоскости ни была расположена нагрузка, мы будем иметь дело с плоским изгибом. Это будет соблюдаться для сечений квадратного, круглого, являющихся правильными фигурами, и любых других, для которых будет выполнено условие.