5.3 Вычисление полярных моментов инерции и моментов сопротивления сечения вала.

Для вычисления Jp=Fρ2dF выделим в сечении кольцевую площадку радиусами ρ и ρ +d ρ (Рис.5.11). В пределах этого кольца выделим маленькую площадку dF. Просуммируем произведения ρ2dF сначала для кольцевой площадки, а потом сложим полученные величины для всех кольцевых площадок, на которые можно разделить сечение. Так как все площадки внутри кольца находятся на одном и том же расстоянии ρ от центра, то для них

∑ρ2dF=ρ2∑dF

Но ∑dF для кольца, как площадь узкой полоски, равна ∑dF=2πρdρ и, следовательно, ρ2∑dF=2πρ3dρ. Тогда, суммируя эти величины для всего сечения, получаем:

Jp=0r2πρ3dρ=2π0rρ3dρ=πr42

или, выражая через диаметр, (5.9)

Jp=πd432≈0.1d4

Это и будет полярный момент инерции для круга. Момент сопротивления при кручении для круга равен:

Wp=Jpρmax=πr42r=πr32=πd316≈0.2d3 (5.10)

Из формулы (11.8) видно, что напряжения 𝜏 в точках сечения, близких к центру (ρ мало), невелики. Крутящий момент уравновешивается, главным образом, напряжениями, действующими в части сечения, Рис.5.12. близкой к поверхности стержня; материал же средней части вала принимает очень слабое участие в этой работе. Поэтому с целью облегчения валов иногда делают их трубчатыми (Рис.5.12).

Рис.5.11 рис.5.12

5.4 Условие прочности при кручении.

Зная величину полярного момента сопротивления сечения, можем найти max 𝜏: по формуле (5.8).

По условию прочности наибольшее касательное напряжение не должно превышать допускаемого, т. е.

Maxτ=MкWp≤τ (5.11)

Отсюда при известном крутящем моменте и выбранном допускаемом напряжении можно определить необходимый момент сопротивления сечения, а затем и необходимый радиус или диаметр вала.

Что касается величины допускаемого напряжения τ, то его следует принимать от 0,5 до 0,6 основного допускаемого напряжения на растяжение.

На практике величина τ колеблется для мягкой стали от 200 до 1000 кг/см2, для твёрдой — от 300 до 1200 кг/см2, в зависимости от характера нагрузки (постоянная, переменная, ударная) и величины местных напряжений, возникающих в тех местах вала, где в нём имеются гнезда для шпонок, выкружки и другие изменения формы сечения.

5.5 Определение деформаций при кручении.

Как мы видели в разделе 5.2, при скручивании цилиндрического стержня с круглым поперечным сечением парами сил Mк, приложенными по его концам, деформация состоит в повороте сечений стержня относительно неподвижного опорного сечения.

Для сечения на расстоянии х от опорного сечения этот угол поворота мы обозначали (Рис.5.6) буквой φxи называли углом закручивания. Для определения его воспользуемся равенством (5.11):

dφdx=MкGJp , или dφ=MкdxGJp (5.12)

Интегрируя по х, получаем (при постоянном Mк):

При длине стержня l наибольший угол закручивания будет между крайними сечениями (при x=l):

Формула (5.12)имеет вид, вполне аналогичный соответствующей формуле при растяжении или сжатии.

Здесь уместно указать на физический смысл величины Jp=πr42. Как видно из формулы (5.12), величина угла закручивания φ тем меньше (при данном Mк), чем больше произведение GJp — так называемая жёсткость при кручении. Таким образом, Jp отражает влияние размеров поперечного сечения на деформируемость стержня при кручении.

Вычисление углов закручивания имеет двоякое практическое значение: во-первых, оно необходимо для определения опорных реакций скручиваемых стержней в статически неопределимых системах, это редкий случай; во-вторых, умение вычислить угол закручивания необходимо для проверки жёсткости вала.

Практикой выработаны высшие допустимые пределы для угла φ,которых нельзя переходить, чтобы не получить нарушения работы машины. Эти пределы таковы: в обычных условиях φ=0,3° на каждый метр длины вала; при переменных нагрузках φ=0,25°,для внезапно (с ударом) меняющихся нагрузок φ=0,15°. Иногда для обычных условий принимают φ=1° на длину, равную 20 диаметрам вала.

Таким образом размёры вала следует определять не только из условия прочности , но и из условия жёсткости:

φ=MкlGJp≤φ (5.13)

Это условие часто выдвигается на первое место при длинных валах.