§7.8. Способ сравнения деформаций.

Прогиб точки B под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного вызванного лишь нагрузкой q, и другого вызванного лишь реакцией В. Таким образом,

Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (Рис. 7.19, а) Тогда прогиб точки В будет равен:

При нагружении основной системы реакцией В (Рис. 7.19, б) имеем:

Получаем:

В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчетом, чтобы уровнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называю способом сравнения деформации. Подставляя значение лишней реакции В уравнения статики, получаем:

Выражение изгибающего момента балки (Рис. 7.18) и подставляя значение B:

^{Поперечная сила Q выражается формулой:}

Эпюры моментов и поперечных сил изображены на Рис. 7.20. Сече­ние с наибольшим положительным моментом соответствуете абсциссе X₀, определяемой равенством

Т.е

Отсюда соответствующая ордината эпюры моментов, равна:

§7.9. Применение теоремы Кастильяно, теоремы Мора

и способа Верещагина.

Раскрытие статической неопределимости для балки может быть произведено и при помощи теоремы Кастильяно.

«Лишнюю» опорную реакцию В (Рис. 7.21, а) заменяем «лишней» неизвестной силой В, действующей вместе с заданной нагрузкой q на основную статически определимую балку АВ (Рис. 7.21, б)

Дифференцируя по силе В потенциальную энергию и вычисляя таким образом прогиб f_B, следует f_B прировнять к нулю; Получим:

^{Остается вычислить М и установить пределы интеграла и взять его:}

^{Будем считать, что сечение балки не меняется по длине; уравнение примет вид:}

или

Отсюда

Далее решение не отличается от описанного в способе сравнения деформаций.

Раскрытие статической неопределимости возможно выполнить также и по теореме Мора. При решении по Мору, кроме пер­вого состояния нагужения ос­новной балки заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой (Рис. 7.22, а), следует показать ту же балку во втором состоя­нии нагружения — силой P⁰ = 1(Рис. 7.22, б).

Вычисления при обозначениях, о принятых на Рис. 7.22, дают:

т. е. то же, что и при пользова­нии теоремой Кастильяно. При решении того же при­мера по способу Верещагина к двум схемам состояний загружения (Рис. 7.22, а и б) следует а построить эпюры моментов: от нагрузки q (Рис. 7.22, в), от силы В (Рис. 7.22, г) и от силы P⁰ =1(Рис. 7.22, д).

_{Величина моментных площадей:}

От нагрузки q:

От нагрузки В:

Ординаты эпюр единичной нагрузки:

Для умножения на :

Для умножения на :

Прогиб в точке В

Отсюда

§7.10. Выбор лишней неизвестной и основной системы.

В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент М_А. Соответственно изменилась бы основная система и ход решения. Окончательный же результат конечно, получился бы прежним.

Возьмём за лишнюю неизвестную опорный момент М_А (Рис. 7.23, а). Какой будет основная система? Чтобы получить её, надо отбро­сить то опорное закрепление, ко­торое создает момент М_А , т. е. защемление конца А. Чтобы на конце А не было опорного момента, там следует поставить шарнирно неподвижную опору.

Основной системой будет балка, изображённая на Рис. 7.23, б. За­грузим её внешней нагрузкой и опорным моментом М_А (Рис. 7.23, в).

Чтобы балки Рис. 7.23, а и в работали одинаково, надо для балки Рис. 7.23, в написать дополнительное условие, что сечение А под действием изображённых нагрузок не может поворачиваться; накладываем это ограничение на перемещение, соответствующее выбранной лишней неизвестной:

Далее применив для решения уравнения

Теорему Кастильяно имеем:

следовательно,

Для нахождения М и выразим реакцию В основной системы (Рис. 7.23, в) через и произведем все обычные вычисления :

, ,

Подставляя полученные данные, находим:

Отсюда

т. е. той же величине, которая была получена раньше. Дальнейший ход решения не отличается от разобранного выше.

Решение той же основной системы (Рис. 7.23, в и Рис. 7.24, а) с при­менением способа Верещагина потребует изображения второго со­стояния загружения основной системы моментом М^о = 1 (Рис. 7.24, б) и построения эпюр изгибающего момента: от заданной нагрузки q (Рис. 7.24, в), от мо­мента М_А (Рис. 7.24, г) и от еди­ничной нагрузки М° = 1 (Рис. 7.24, д). Пользуясь формулой вычисляем :

Как видно, уравнение для определения М_А полностью совпадает с найденным по Кастильяно.

Сравнивая два варианта поставленной задачи с лишней неизвестной B лишней не­известной M_A, видим, что применении способа Кастильяно первый вариант менее сложен по вычислениям. Это объясняется тем, что основной системой в первом варианте является балка, защемленная одним концом, во втором же — балка на двух опорах; для второй — вычисления сложнее. Таким образом, лишнюю неизвестную и, следовательно, основную систему надо выбирать с таким расчетом, чтобы выкладки (вычисление изгибающих моментов и т. д.) были проще.

Если бы мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию А, то основную систему следовало бы так устроить, чтобы опора А не давала возможности поворота сечения и горизонтальных перемещении, но допускала бы вертикальные движения.