2.11 Статически неопределимые системы
Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия от заданной нагрузки можно определить при помощи уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми. В отличие от них статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения (уравнения перемещений), учитывающие характер деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Можно составить столько дополнительных уравнений, сколько необходимо для решения задачи.
Усилия в элементах статически определимых систем возникают только при действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции). В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии, внешней нагрузки — в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.
Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способы их составления рассмотрим на примерах решения различных задач расчет статически неопределимых систем.
Рассмотрим
стержень, защемленный (заделанный)
обоими концами и нагруженный силой Р
(рис.2.19,а).
Под
действием силы Р
в
заделках возникают реакции
;
требуется
определить величины этих сил. Для данного
случая (когда все силы действуют вдоль
одной прямой) статика позволяет составить
только одно уравнение равновесия:
(2.40)
Следовательно,
для определения двух неизвестных
необходимо
составить дополнительно одно уравнение.
Поэтому рассматриваемый стержень
является один раз статически неопределимым
(т. е. степень его статической неопределимости
равна единице). Для составления
дополнительного уравнения отбросим
нижнюю заделку и заменим ее влияние на
стержень реакцией
(рис. 2.19,б). Предположим, что действует
только одна сила Р,
а
силы
нет
. Под действием силы Р деформируется
только верхний участок стержня длиной
а,
в
результате чего сечение, где приложена
сила Р,
перемещается
вниз на величину
.
Рисунок 2.19
Нижний участок стержня длиной b при этом не деформируется, а перемещается вниз, как жесткое тело, на такую же величину, на какую перемещается сечение, где приложена сила Р. В частности, на эту же величину перемещается вниз и нижний конец стержня.
Предположим
теперь, что действует только сила
, а сила Р
отсутствует.
Под действием силы
деформируется весь стержень, в результате
чего нижний конец стержня перемещается
вверх на величину
.
В
действительности нижний конец стержня,
будучи заделанным, не получает перемещения.
Следовательно, перемещение его вниз,
вызванное силой P
, должно быть равно перемещению вверх,
вызванному силой
,
т.е.
,
откуда
.
Зная величину
из уравнения (2.40) можно найти
.
После определения реакций , вызванных действием силы P, построение эпюры продольных сил и расчет на прочность производится, как в случае статически определимой задачи.
Следует
отметить, что направления неизвестных
реакций, перемещений и т.д. можно принимать
совершенно произвольно. В рассмотренном
примере для реакций
принято направление вверх. В результате
расчета значения обеих реакций получились
положительными; это означает, что
действительные направления их совпадают
с принятыми предварительно. Если,
например, для реакции
принять направление вниз, то в результате
решения дополнительного уравнения
получится
.
Знак «минус» укажет на то, что действительное направление реакции нижней заделки обратно принятому направлению её, т.е. что она направлена вверх. Таким образом, окончательный результат расчета не зависит от того, какое направление реакции принято предварительно.
Рассмотрим
статически
неопределимую плоскую шарнирно-
стержневую систему, состоящую из трех
стержней,
нижние концы которых соединены общим
шарниром D
(рис. 2.20). Площадь поперечного сечения
среднего стержня равна
,
а крайних стержней
.
Рисунок 2.20
К шарниру D приложена вертикальная сила P. Требуется определить усилия в стержнях от действия этой силы.
Так
как соединения всех концов стержней
шарнирные, то реакции
шарниров A,
B
и C
направлены вдоль осей стержней и ,
следовательно, пересекаются в точке D.
Число реакций равно трем. Но так как
система и нагрузка симметричны
относительно вертикальной оси, то
реакции
равны между собой, а потому для решения
задачи достаточно определить две реакции
.
Для плоской системы сил, пресекающихся
в одной точке, можно, как известно,
составить два уравнения равновесия:
∑X=0
и ∑Y=0.
Однако этих двух уравнений недостаточно
для определения реакций
,
так как уже использовано условие
симметрии, а это равносильно использованию
уравнения равновесия ∑X=0.
Остается лишь одно уравнение равновесия,
а число неизвестных усилий равно двум.
Таким образом, решение задачи необходимо
составить одно дополнительное уравнение
и, следовательно, задача является один
раз статически неопределимой.
Уравнение равновесия ∑Y=0 имеет вид
∑Y=
(2.41)
Для составления дополнительного уравнения рассмотрим перемещение системы.
В
стержнях AD,
BD
и CD
возникают продольные силы, равные
соответственно
.
Стержень BD
под действием продольной силы
удлинится на величину
.
Стержень
AD
удлинится на величину
.
Учитывая, что
,
получаем
.
Шарнир
D
опустится на величину
и займет положение D’
(рис.2.20).
Для того чтобы выразить удлинение стержня AD через перемещение DD’= , надо спроектировать это перемещение на направление оси стержня:
cosα=
cosα. (2.42)
Здесь, в связи с тем, что перемещение мало по сравнению с длинами стержней, угол AD’B (см. рис. 2.20) принят равным α, т.е. углу ADB (между осями стержней AD и BD в недеформированной конструкции).
Подставим
в уравнение (2.42) выражения
и
,
полученные выше:
,
откуда
.
Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия (2.41), получаем
;
.
(2.43)
Рассмотрим систему, состоящую из трех стержней: алюминиевой трубки 1, стальной трубки 2, вставленной в алюминиевую, и чугунного сплошного стержня 3, расположенного внутри стальной трубки (рис. 2.21, а). Обе трубки и чугунный стержень помещены между абсолютно жесткими плитами и сжимаются силой Р. Требуется определить напряжения в поперечных
Проведем горизонтальное сечение и составим уравнение равновесия для верхней части системы (рис. 2.21, б):
∑
(2.44)
где
— нормальные напряжения в поперечных
сечениях соответственно алюминиевого,
стального и чугунного стержней (сжимающие
нормальные напряжения приняты здесь
положительными);
—
площади
поперечных сечений этих стержней.
Произведения
представляют
собой продольные силы в поперечных
сечениях стержней.
Другие
уравнения равновесия для рассматриваемой
системы параллельных сил составить
нельзя, а потому для определения трех
неизвестных напряжений
кроме уравнения равновесия (2.44), необходимо
составить два дополнительных уравнения.
В соответствии с этим рассматриваемая
система является два раза (дважды)
статически неопределимой.
Рисунок 2.21
Для составления дополнительных уравнений используем то обстоятельство, что все три стержня зажаты между двумя жесткими плитами, а потому продольные деформации всех стержней одинаковы. Обозначим 𝜀 относительную продольную деформацию стержней.
На основании закона Гука:
(2.45)
где
—модули продольной упругости материалов
стержней.
Из этого равенства получаем два
дополнительных уравнения:
и
(2.46)
Подставив
значения
и
из уравнений (2.46) в уравнение (2.45), найдем:
откуда
(2.47)
Где
приведенная к алюминию площадь поперечного
сечения всего составного стержня:
.
(2.48)
На
рис. 2.21, б показан вид эпюры нормальных
напряжений в рассматриваемой системе
при соотношении между модулями упругости
Приведенные площади часто используют при проектировании брусьев разнородной упругости, например железобетонных колонн, состоящих из стальных стержней (арматуры), расположенных в бетоне. Сцепление между арматурой и бетоном исключает возможность перемещения арматуры относительно окружающего её бетона. Поэтому продольные деформации бетона и арматуры одинаковы, а отношение нормальных напряжений в арматуре к напряжениям в бетоне равно отношению модулей упругости этих материалов.
Рассмотрим
теперь систему,
изображенную на рис. 2.22, а, состоящую из
абсолютно жесткого бруса, опертого на
шарнирную опору и прикрепленного к двум
стержням
( изготовленным из пластической стали)
при помощи
шарниров.
Рис. 2.22
Определим из условия прочности стальных стержней допускаемую нагрузку [Q ], предельную нагрузку Qпр и предельно-допускаемую нагрузку [Q]пр.
Реакции
стержней
шарнирно прикрепленных по концам,
направлены вдоль осей этих стержней.
Реакция опоры В
имеет
горизонтальную составляющую
и
вертикальную составляющую Vв,
так
как эта опора препятствует горизонтальному
и вертикальному перемещениям точки В
бруса.
Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис 2.22, б), а уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение.
По условию задачи необходимо определить реакции стальных стержней (равные продольным силам в поперечных сечениях этих стержней), а в определении реакций и Vв нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакции и Vв. Таким является уравнение в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира В:
∑
(2.49)
Длz
составления дополнительного уравнения
рассмотрим деформацию системы. На рис.
2.22,б,
штриховой
линией показана ось бруса после деформации
системы. Эта ось остается прямолинейной,
так как брус является абсолютно жестким
и, следовательно, не деформируется, а
может лишь повернуться вокруг точки В.
Шарниры
А
и
С
после
деформации переходят в положения А'
и
С'
соответственно,
т. е. перемещаются по вертикали на
величины
.
Из подобия треугольников АА'В
и
СС'В
находим
(2.50)
Выразим
удлинение
стержня
и удлинение
стержня
через
перемещения
.
Для этого спроектируем перемещения
на направления стержней:
;
откуда
Или с учетом равенства (2.50)
(2.51)
Но по закону Гука
И, следовательно, на основании равенства (2.51)
(2.52)
Решив
уравнение (2.52) совместно с уравнением
равновесия (2.49) найдем значения продольных
сил
,
выраженные через нагрузку Q.
Разделив
силы
на
площади поперечных сечений
соответственно, определим нормальные
напряжения
в стальных стержнях. Приравняв затем
большее из этих напряжений допускаемому
напряжению [
],
найдем значений Q,
равное величине допускаемой нагрузки
[Q].
При
увеличении нагрузок Q
сверх значения [Q]
напряжения в обоих стержнях сначала
увеличиваются прямо пропорционально
нагрузке. Если, например,
и , следовательно, значение [Q]
найдено из условия
,
то при увеличении нагрузки до некоторой
величины Q
напряжения
в первом стержне достигают предела
текучести
.
При этом напряжения
во втором стержне остаются меньше
.
В процессе дальнейшего увеличения
нагрузки напряжения в первом стержне
остаются постоянными, равными пределу
текучести, а во втором – возрастают,
пока также не становятся равными
.
Это состояние системы называется
предельным, соответствующим исчерпанию
её грузоподъемности; дальнейшее, даже
незначительное увеличение нагрузки
связано с весьма большими деформациями
системы. Величину Q,
вызывающую предельное состояние,
обозначают
и называют предельной
нагрузкой.
Для определения значения составим уравнение равновесия в виде суммы моментов (относительно шарнира В) всех сил, действующих на жесткий брус в предельном состоянии, когда
Q=
,
и
:
∑
откуда
.
Разделив на нормативный коэффмциент запаса несущей способности [n], получим величину предельно допускаемой нагрузки:
(2.53)
Если.
значение [n]
в формуле
(59.2) принять равным значении
,
то величина предельно допускаемой
нагрузки [Q]пр
будет больше величины допускаемой
нагрузки [Q],
полученной
расчетом по допускаемым напряжениям.
Установим
теперь метод определения
монтажных напряжений
в статически неопределимой конструкции,
вызванных неточностью изготовления ее
элементов. Рассмотрим для примера
конструкцию, состоящую из трех стальных
стержней (с площадями поперечных сечений
концы которых шарнирно прикреплены к
двум жестким плитам (рис. 2.23, а).
Все
стержни должны были иметь одинаковую
длину
,
однако первый стержень был изготовлен
на
длиннее, а второй на
короче, чем по проекту (
и
весьма малы по сравнению с
).
В связи с этим после монтажа в стержнях
возникли так называемые начальные
(или монтажные) напряжения. Определим
эти напряжения.
Предположим, что после монтажа конструкции нижняя плита заняла положение, показанное на рис. 2.23, а штриховой линией,
т. е. что при монтаже все стержни удлинились и, следовательно, все они растянуты.
Рисунок 2.23
Проведем через стержни сечение I—I (рис.2.23, а) и составим условия равновесия для нижней (отсеченной) части конструкции рис. 2.23, б):
а) сумма проекций сил на вертикаль
∑Y=
(2.54)
б) сумма моментов сил относительно нижнего левого шарнира А
∑
=
(2.55)
Из
уравнения (2.55) видно, что усилия
и
во
втором
и третьем стержнях имеют различные знаки, т. е. один из них;
растянут, а другой сжат. Поэтому сделанное предположение о том,
что все стержни растянуты, неверно; оно, однако, упрощает
дальнейшие рассуждения и не вносит ошибки в результаты расчета.
В два уравнения равновесия (2.54) и (2.55) входят три неизвестных усилия. Следовательно, рассматриваемая конструкция один раз статически неопределима.
Для
составления дополнительного уравнения
рассмотрим удлинения стержней при
монтаже. Обозначим
удлинения соответственно первого,
второго и третьего стержней (рис. 2.23,
а). Исходя из допущения об абсолютной
жесткости плит, заключаем, что все три
нижних шарнира расположены на одной
прямой. Это позволяет составить для
подобных треугольников АСЕ
и
ВСD
(рис.
2.23, а), следующее соотношение:
Но из рис. 2.23,а видно, что
Поэтому
На основании закона Гука
Следовательно,
Подставляя
в уравнения равновесия (2.54) и (2.55) и в
дополнительное уравнение (2.56) числовые
значения a,
b,
l,
и
решая их совместно, можно определить
продольныё силы
и
,
возникающие в стержнях при монтаже
конструкции. Разделив эти силы на площади
поперечных сечений стержней, найдем
нормальные напряжения в поперечных
сечениях.
Рассмотрим теперь два примера определения температурных напряжений, возникающих в результате изменений температуры элементов конструкции.
Рисунок 2.24
Пусть
стержень (рис. 2.24, а)
при
некоторой температуре
заделан обоими концами в неподатливые
стены. Затем
температура повысилась
до
,
так
что изменение температуры
.
Если бы один конец стержня был свободен,
то в результате нагрева длина стержня
увеличилась бы
и
напряжения в стержне не возникли.
Но так как стены не дают стержню
удлиниться, то он испытывает сжатие и
в нем возникают продольные силы и
напряжения. Отсутствие удлинения
вызывает в данном случае возникновение
напряжений. Рассматриваемая задача
один раз статически неопределима, так
как при двух неизвестных силах (реакциях
стен) можно составить всего одно
уравнение равновесия — в виде суммы
проекций всех сил на горизонтальную
ось. Отбросим одну из заделок, например
правую, и заменим ее действие на стержень
силой R
(рис.
2.24,б). Если бы этой силы не было, то
стержень в результате нагрева
удлинился бы на величину
(2.57)
где - коэффиииент линейного расширения материала стержня.
В действительности же стержень не удлиняется.
Следовательно
сила R
, сжимая
стержень уменьшает
его длину на величину
равную величине
.
Таким образом,
(2.58)
По закону Гука
=
Следовательно, на основании равенств (2.57) и (2.58)
откуда
R=EF
.
Возникающие в поперечных сечениях стержня нормальные сжимающие напряжения определяются из выражения
.
(2.59)
Рассмотрим
теперь влияние повышения на величину
температуры
на усилия в конструкции, состоящей из
двух жестких горизонтальных брусьев,
соединенных тремя стержнями, из которых
крайние- стальные с площадью поперечного
сечения
каждый, а средний – медный с площадью
сечения
(рис. 2.25, а)
Из симметрии конструкции следует, что продольные силы в обоих стальных стержнях одинаковы.
Обозначим
продольные силы в стальных стержнях, а
-
в медном. Предположим, что все стержни
растянуты.
Рисунок 2.25
Рассечем мысленно стержни в уровне нижних шарниров (рис. 2.25, б) и составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось у сил, действующих на нижнюю (или верхнюю) часть конструкции:
∑
(2.60)
Использование свойства симметрии равносильно использованию уравнения равновесия в виде суммы моментов сил относительно среднего нижнего (или верхнего) шарнира.
Уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на горизонтальную ось нельзя
использовать
для определения сил
,так
как проекции этих сил
на
эту ось равны нулю.
Таким
образом,
при двух
неизвестных продольных
силах
имеется одно уравнение равновесия
и, следовательно, задача является один
раз статически неопределимой. Для
составления дополнительного уравнения
используем то обстоятельство, что
горизонтальные брусья, в связи с
симметричным расположением стержней,
должны и после повышения температуры
на величину
оставаться горизонтальными и,
следовательно, абсолютные удлинения
всех стержней должны быть одинаковыми.
Обозначая абсолютное удлинение медного
стержня
, а стального стержня
,
получаем
Абсолютное удлинение каждого стержня равно сумме его температурного удлинения и упругой деформации от продольной силы:
;
Следовательно,
(2.61)
Где
— коэффициенты линейного расширения
меди и стали
соответственно;
—
модули
упругости меди и стали соответственно.
Решив совместно уравнение равновесия (2.60) и дополнительное уравнение (2.61), получим
И
Так
как
,
то продольная сила
положительна и следовательно, стальные
стержни растянуты; продольная сила
отрицательна, т. е. медный стержень сжат.