3.5 Графическое определение напряжений (круг Мора).
Вычисление σα и τα по формулам (1.5) и (1.6) может быть заменено графическим построением (рис. 10).
Рис.3.10
Возьмем систему прямоугольных координат с осями σ и 𝜏. Положительную ось σ направим вправо. Отложим на оси σ отрезки ОА и 0В, изображающие в определенном масштабе числовые величины напряжений σ1и σ2 (ось σ удобно располагать параллельно наибольшему главному напряжению σ1).
На рис.3.10 оба эти напряжения приняты растягивающими и отложены на оси σ в положительном направлении. Если бы одно или оба эти напряжения были сжимающими, мы отложили бы их в противоположном направлении. Построим на отрезке АВ, как на диаметре, круг с центром С, который назовём кругом напряжений. Тогда для нахождения нормального σα и касательного напряжения τα по площадке, нормаль к которой составляет с наибольшим главным напряжением σ1 угол α, надо построить при точке С центральный угол 2α, откладывая его положительные значения от оси σ против часовой стрелки. Точка D круга напряжений будет соответствовать выбранной площадке; её координаты ОК и D К соответственно равны σα и τα.Это легко доказать. Из чертежа находим радиус круга напряжений:
CD=AC=BC=AB2=OA-OB2=σ1 -σ2 2;
из прямоугольного треугольника КDС имеем:
DK=CDsin2α=σ1-σ22sin2α=τα.
Далее:
OK=OB+BC+CK=σ2+σ1 -σ2 2+σ1 -σ2 2cos2α=σ2+σ1 -σ2 21+cos2α=σ2+σ1 -σ2 22cos2α=σ2+σ1cos2α+σ2sin2α=σα.
Таким образом, координаты точек окружности определяют напряжения. Величины σα измеряются отрезками по оси σ. Положительные σα отложены в положительном направлении оси σ. Величины τα измеряются отрезками, параллельными оси 𝜏. Положительные τα направлены вверх, так как при принятых нами условиях значениям а от 0 до 90° соответствуют положительные величины τα; это же видно и из формулы
τα=σ1-σ22sin2α,
в которой за σ1 выбрано наибольшее из главных напряжений.
Определив построением круга напряжения σα и τα, изобразим их на чертеже выделенного элемента, учитывая знаки этих напряжений (рис.3.10). Напомним, что мы условились отсчитывать угол α, определяющий положение внешней нормали к рассматриваемой площадке, всегда от линии действия наибольшего (алгебраически) главного напряжения. Совместим поэтому линию действия наибольшего главного напряжения σ1 с осью σ на круге; тогда линия ВD, наклоненная к оси σ под углом α, будет параллельна нормали к рассматриваемой площадке, а значит, параллельна σα; линия ВМ будет параллельна τα.
Как видно из рис. 10, наибольшее значение касательных напряжений равно отрезку СD0, т. е. радиусу круга напряжений
maxτα=σ1 -σ2; 2
соответствующий угол 2α равен 90° и угол α = 45°. В круге напряжений величина max τα изображается ординатой СD0, абсциссой для которой служит ОС=σ1+σ22, т. е. на той площадке, где τα = τmax ,нормальное напряжение является средним.
Точно так же из рис.3.10 видно, что наибольшее нормальное напряжение изображается отрезком ОА и равно σ1 а наименьшее — отрезком ОВ и равно σ2. Отсюда следует, что величины нормальных напряжений по любой из рассматриваемых площадок с углом α заключаются между значениями главных напряжений σ1и σ2.
Так, зная главные напряжения для плоского напряжённого состояния, мы можем с помощью круга напряжений всесторонне изучить напряженное состояние материала в точке.
Пример. Графически найдём напряжения σα и τα для площадки с углом α=-30°; главные напряжения равны σ3 = -700 кг/см2 и σ1 = +300 кг/см2. Построение дано на рис.3.11:
σα=+50 кг/см2; τα=-430 кг/см2.
Рис.3.11
Пользуясь кругом напряжений, можно найти по известным главным напряжениям σ1и σ2 напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам а — а и b — b, нормали к которым (рис.3.12) составляют углы α и β с направлением наибольшего главного напряжения σ1.
В круге напряжений (рис.3.12) при точке С построим угол 2α. Точка Dα будет соответствовать площадке а — а, а отрезки DαKα и ОKα представят собой напряжения τα и σα по этой площадке.
Для нахождения напряжений по площадке b — b надо построить угол 2β, т. е. прибавить 180° к углу 2α. Для этого надо лишь продолжить радиус СDα; точка Dβ соответствует площадке b — b.
Напряжения τβ и σβ представляются отрезками DβKβ и ОKβ. Из чертежа ясно, что τβ= -τα , а
σα+σβ=σ1+σ2=const.
Рис.3.12
Напряжения, действующие по граням элемента, вырезанного плоскостями а и плоскостями b, показаны на рис.3.12 справа и на рис.3.13.
Совмещая на круге напряжений линию действия наибольшего (алгебраически) главного напряжения σ1 с осью σ (рис.3.12), получаем, что линия BDα, соединяющая левую крайнюю точку круга с точкой Dα, параллельна напряжению σα; линия BDβ – напряжению σβ; стрелки поставлены в соответствии с полученными знаками напряжений. На рис. 3.14 изображено построение для случая, когда оба главных напряжения сжимающие.
Рис.3.13
Рис.3.14