3.4Напряжения при плоском напряжённом состоянии.
Для проверки прочности материала при плоском и объемном напряжённом состояниях необходимо найти наибольшие значения нормальных и касательных напряжений.
Рис3. 8
Начнём с плоского напряженного состояния. Представим себе прямоугольный параллелепипед, на боковые грани которого действуют главные напряжения σ1 и σ2 (рис.3.8). Оба эти напряжения будем считать растягивающими. По фасадным граням элемента никаких напряжений нет; следовательно, третье главное напряжение равно нулю. Если одно из напряжений σ1,σ2 или оба будут сжимающими, то в дальнейшие формулы придётся вводить значение соответствующего напряжения со знаком минус и менять нумерацию главных напряжений в соответствии с предыдущим параграфом. Так, если одно из главных напряжений будет растягивающим, а другое сжимающим, то первое придется называть σ1, а второе σ3; если оба напряжения будут сжимающими, то меньшее по абсолютной величине придется назвать σ2, а большее σ3.
Поставим задачу отыскания наибольших нормальных и касательных напряжений по сечениям, перпендикулярным к фасадным граням.
Проведём такое сечение, нормаль к которому составит с направлением I угол α1, (рис.3.8). С направлением II та же нормаль составит угол α2. По этому сечению будут действовать и нормальные σα и касательные τα напряжения, зависящие и от σ1 и от σ2. Величину их мы получим, рассматривая действие σ1 и σ2 отдельно и складывая результаты. Та доля нормальных напряжений, которую вызывают σ1, выразится по формуле (3.1) так: σ1cos2α1; другая же часть напряжений σα, вызванная σ2, выразится по той же формуле в виде σ2cos2α2. Полное нормальное напряжение σα равно
σα=σ1cos2α1+σ2cos2α2=σ1cos2α1+σ2cos2(α1+90°) или
σα=σ1cos2α1+σ1sin2α1 (3.5)
Таким же рассуждением при помощи формулы (3.2) находим величину касательных напряжений τα по проведённой площадке:
τα=12σ1sin2α1+σ2sin2α2=12σ1sin2α1+σ2sin2(α1+90°)
или
τα= σ1-σ22sin2α1 (3.6)
В этих формулах α1 — угол, отсчитанный против часовой стрелки от направления оси I (напряжения σ1) до нормали к рассматриваемому сечению. Знаки для σα и τα, а также для углов α1 и α2 будем принимать по правилу, установленному выше, в предыдущем параграфе.
В дальнейшем в формулах для σα и τα угол α1 будем обозначать через α, отсчитывая этот угол всегда от направления наибольшего (алгебраически) главного напряжения против часовой стрелки.
Пользуясь формулами (3.5) и (3.6) для напряжений по площадке a-a (рис.3.9), легко находим напряжения по площадке b-b, ей перпендикулярной, имеющей нормаль nβ составляющую с направлением наибольшего главного напряжения угол β=α+90°:
σβ = σ1cos2β+σ2sin2β=σ1cos2α+90°+σ2sin2α+90°,σβ =σ1sin2α+σ2cos2α; (3.5`)
τβ=σ1-σ22sin2β=σ1-σ22sin2α+180°,τβ=-σ1-σ22sin2α (3.6`)
Рис3.9
Из полученных формул выясняются свойства напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам. Для нормальных напряжений имеем:
σα=σ1cos2α+σ2sin2α,
σβ=σ1sin2α+σ2cos2α.
Складывая, получим:
σα+σβ=σ1+σ2=const, (3.7)
т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна сумме главных напряжений.
Для касательных напряжений, сопоставляя формулы (1.6) и (1.6'), получим:
τβ=–τα. (3.8)
Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку. Это свойство обычно называют «законом парности касательных напряжений», причём оно имеет место во всех случаях, когда имеются касательные напряжения.
Из формул (3.5) и (3.6) видно, что величины нормальных и касательных напряжений по любой площадке зависят от угла наклона этой площадки.
Чтобы найти наибольшее значение нормального напряжения, исследуем выражение (3.5) на maximum. Взяв производную и приравняв ее нулю, получим:
dσαdα=-2σ1cosαsinsα+2σ2cosαsinsα=0
Или
dσαdα=-(σ1-σ2)sin2α=0 (3.9)
Сопоставляя полученное выражение (3.9) с формулой (3.6), видим, что условие максимума для σα совпадает с условием равенства нулю касательных напряжений по соответствующим площадкам. Из этого же выражения следует, что σα=σ1cos2α+σ2sin2α получит наибольшее значение при α=0º. Так как σ1> σ2, то:
maxσα=σ1(при α=0),
minσα=σ2 при α=90°,
т.е наибольшее и наименьшее нормальные напряжения в данной точке- это главные напряжения σ1 и σ2, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам, свободным от касательных напряжений.
Наибольшее значение касательных напряжений, как это видно из формулы (3.6), будет:
max τα=σ1-σ22 при sin2α=1, т.е. при α=45°. (1.10)
Следовательно, наибольшие касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют по площадкам, наклоненным к главным площадкам на угол 45° и перпендикулярным к плоскости чертежа. По площадкам, параллельным σ2, наибольшее касательное напряжение будет:
maxτ=σ12. 1.10'