§7.4. Применение понятия о потенциальной энергии к определению деформаций.

Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определений деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии. При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой: часть потенциальной энергии действующего на стержень груза, полностью переходила в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP (Рис. 7.11), то при добавление каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и ее потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статистическом нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой .

Мы условились называть «статической» такую нагрузку, которая возрастает постепенно таким образом , что ускорения элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей ,т.е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует.

При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождать изменение кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразования потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статистические деформации тела лишь в очень слабой мере.

Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесии как для каждой части конструкции в целом этой части под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжений в ее частях и реакции, передающих от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.

Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок Up.Тогда величина Uр измеряется положительной работой этих нагрузок Ар, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних мужду частичных сил А, так как перемещение точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлений.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

;

Заменяя в этой формуле величины Up и U численно равными им значениями работ Ар и -А получаем иную формулировку этого закона:

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым (началом) возможных перемещений в применении упругим системам; равенства выражает ту мысль, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела равно нулю. Таким образом начало возможных перемещений применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии.

Из формулы следует, что потенциальная энергия деформации U численно равна работе внешних сил Ap, проделанной ими при деформации:

Совершенно не правильным является истолкование этого равенства, иногда встречающиеся в учебниках по строительной механике:”работа внутренних сил при деформации стержня переходит в потенциальную энергию деформации”; переходить в потенциальную энергию деформации может только другой вид энергии; как правило, это- потенциальная энергия внешних нагрузок. Величина же работы, производимой при этом переходе внешними силами, является лишь числовой мерой превратившейся части энергии.