§7.7 Статически неопределимые балки.

До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись ив условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказы­вается необходимым увеличить число опорных закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку.

Например, для уменьшения пролета белки АB на двух опорах (Рис. 7.14, а) можно поставить опору еще посредине (Рис. 7.14, б); для уменьшения деформаций балки, защемленной одним концом (Рис. 7.15, а), можно подпереть её свободный конец (Рис. 7.15, б).

Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах, необходимо построить обычным порядком, эпюры нагибающих моментов и поперечных сил, а стало быть, определить опорные реакции.

Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть превышает число уравнений статики, например, для балок Рис. 7.16, а и б четыре опорные реакции, а для балки Рис. 7.16, в — пять. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и дадут возможность определить все опорные реакция.

Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся (Рис. 7.17) под действием равномерно распределенной нагрузки q. Сначала изобразим все реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций может быть на опоре А три: вертикальная А, горизонтальная Н_А и опорный момент на опоре В возможно появление лишь одной реакции В.Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.

Одна из реакций является добавочной как говорят, «лишней» неизвестной. Этот термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно лишь условно. Действи­тельно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются «лишними» только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жесткого целого. С точки же зрения инженера добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы невозможна. Например, балка Рис. 7.14, б могла бы в некоторых случаях перекрыть пролет АВ лишь при наличии добавочной опоры в точке С. Поэтому мы будем пользоваться термином «лишняя опорная реакция» «лиш­няя неизвестная» лишь условно.

Составим все уравнения статистики для нашей балки, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А. Получим систему:

Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция ; для определения трёх других остаются лишь два уравнения.

За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трёх: попробуем взять реакцию опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из статически определимой балки АВ, защемлённой концом А (Рис. 7.17), у которой потом поставили добавочную опору в точке В. Эта статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении добавочного, лишнего опорного закрепления, называется основной системой. Выбрав какую-либо из реакций за лишнюю неизвестную, мы тем самым вы­бираем основную систему.

Попробуем теперь превратить основную систему (Рис. 7.17) в систему, полностью совпадающую с заданной статически неопределимой балкой. Для этого загрузки ее сплошной нагрузкой q и в точке В приложим лишнюю реакцию В (Рис. 7.18).

Однако этого мало: в балке, изображенной на Рис. 7.18, точка ,В может перемещаться по вертикали - под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически неопределимой балке (Рис. 7.17) точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению Рис. 7.17 и 7.18, надо к последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В должен быть равен нулю.

Это и будет добавочное уравнен определяющее реакцию В; оно является условием совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от опоры.

Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами.