- •1.Введение
- •1.1 Задачи и методы сопротивления материалов.
- •1.2 Классификация сил, действующих на элементы конструкций.
- •1.3 Основные предпосылки науки о сопротивлении материалов.
- •1.4 Реальный объект и расчетная схема.
- •1.5 Внутренние силы. Метод сечений.
- •1.6 Напряжения.
- •1.7 Деформации и перемещения.
- •1.8 План решения основной задачи сопротивления материалов.
- •2. Растяжение и сжатие
- •2.1 Продольная сила
- •2.2 Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным и наклонным к оси стержня.
- •2.3 Допускаемые напряжения. Подбор сечений.
- •2.4 Продольные и поперечные деформации
- •2.5 Диаграммы растяжения и сжатия
- •2.6 Основные механические характеристики материала
- •2.7 Работа силы при ее статическом действии. Потенциальная энергия деформации
- •2.9 Перемещения поперечных сечений брусьев
- •2.10 Допускаемые напряжения. Расчеты на прочность.
- •2.11 Статически неопределимые системы
- •3.Сложное напряжённое состояние.
- •3.1Виды напряженного состояния.
- •3.2Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении или сжатии (линейное напряжённое состояние).
- •3.3Понятие о главных напряжениях. Виды напряжённого состояния материала.
- •3.4Напряжения при плоском напряжённом состоянии.
- •3.5 Графическое определение напряжений (круг Мора).
- •3.6 Нахождение наибольших напряжений для объёмного напряжённого состояния.
- •3.8 Понятие о теориях прочности.
- •3.9 Проверка прочности по различным теориям.
- •4.1 Понятие о сдвиге. Расчёт заклепок на перерезывание.
- •4.2 Проверка заклёпок на смятие и листов на разрыв.
- •4.3 Расчёт сварных соединений.
- •4.4 Чистый сдвиг. Определение главных напряжений и проверка прочности.
- •4.5 Связь между напряжениями и деформацией при чистом сдвиге. Потенциальная энергия сдвига.
- •5.1 Основные понятия. Крутящий момент.
- •5.2 Определение напряжений при кручении круглого вала.
- •5.3 Вычисление полярных моментов инерции и моментов сопротивления сечения вала.
- •5.4 Условие прочности при кручении.
- •5.5 Определение деформаций при кручении.
- •5.6 Потенциальная энергия при кручении.
- •5.7 Определение предельной грузоподъёмности скручиваемого стержня.
- •6.8 Напряжения и деформации в винтовых пружинах с малым шагом.
- •5.9 Статически неопределимые задачи при кручении
- •6. Изгиб
- •§ 6.1. Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях бруса при изгибе
- •§ 6.2. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •§ 6.3. Напряжения при поперечном изгибе
- •§ 6.4. Дифференциальное уравнение упругой линии балки. Перемещения при изгибе
- •§ 6.5. Универсальное уравнение упругой линии балки
- •§6.6 Контроль правильности построения эпюр q и m.
- •§6.7. Способ сложения действия сил при построении эпюр.
- •§6.8. Графический метод построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
- •7. Вычисление моментов инерции плоских фигур.
- •§7.1. Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.
- •§7.2. Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
- •§ 7.3. Подбор сечения балок по допускаемым нагрузкам.
- •§7.4. Применение понятия о потенциальной энергии к определению деформаций.
- •§ 7.5. Вычисленние потенциальной энергии.
- •§7.6. Теорема Кастильяно.
- •§7.7 Статически неопределимые балки.
- •§7.8. Способ сравнения деформаций.
- •§7.9. Применение теоремы Кастильяно, теоремы Мора
- •§7.10. Выбор лишней неизвестной и основной системы.
- •§7.11. План решения статически неопределимой задачи.
- •8. Косой изгиб
- •§8.1. Основные понятия.
- •§8.2. Косой изгиб. Вычисление напряжений.
- •§8.3. Определение деформаций при косом изгибе
- •9. Совместное действие изгиба и растяжения или сжат
- •9.1 Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
- •9.3. Ядро сечения
- •10.Совместное действие кручения и изгиба
- •11.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня
- •12.1. Введение»
- •12.2 Вычисление напряжений при равноускоренном движении
- •12.3 Расчёт вращающегося кольца (обод маховика)
§7.6. Теорема Кастильяно.
Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим себе задачу нахождений перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных в этой системе внешних сил.
Будем решать эту задачу в несколько приёмов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис. 7.12),когда на балку в сечениях 1,2,3 … действует только сосредоточенные силы ,обозначим и т.д. Найдем один из этих прогибов, например прогиб сечения, в котором приложена сила .
Переведем балку, не нарушая, из положения I в смежное положение II ,показанное на Рис. 7.12 пунктиром. Это можно сделать различными приёмами: добавить новую нагрузку ,увеличить уже приложенные и т д.
Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию II к силе сделана бесконечно малая добавка d (Рис. 7.12); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т.е возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.
При переходе от состояния I балки к состоянию II все нагрузки Р опустятся ,значит их потенциальная энергия уменьшится .Так как равновесие не нарушалось ,то уменьшение энергии нагрузок d целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформации балки d U
Величина d измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения I в положение II :
d U= d
Изменение d U потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил ,произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных ;поэтому дифференциал такой сложной функции равен:
Что касается величины d , то эта работа в свою очередь является разностью нагрузок Р для положений I ,II
Работа при одновременном и постепенном возрастании равна:
Полученным результат можно обобщить. Пусть не балку, помимо сосредоточенных сил P, действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис. 7.13). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения I в положение II путем добавки к паре . Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов умножать их не на прогибы, а на углы поворота , тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно d станет , и тогда :
Так как у- это перемещение, соответствующее силе , а - перемещение, соответствующее силе , то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно.
Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.
Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно» что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.
Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами
Изгибающим момент является линейной функцией нагрузок, P1P2…… M1, M2, q, приложенных к балке:
Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например P1 получаем:
Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла по параметру, так как М (х) — функция и; интегрирование производится по х, а дифференцирование -параметру Р1 , Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подынтегральную функцию.
Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы P равен:
а угол поворота сечения с парой
Напомним, что знак предела l условно показывает, что должен быть распространен на всю длину балки.