§7.11. План решения статически неопределимой задачи.

Общий метод решения, показанный в предыдущих параграфах, распадается на ряд отдельных этапов, которые даны в сводном виде в таблице 23.

В этой таблице даны два варианта решения задачи: с лишней реакцией В и с лишней реакцией МА. Для развёртывания добавочного условия даны также два варианта решения: способом сравнения деформаций и с применением теоремы Кастильяно. Если бы число реакций статически неопределимой балки было не четыре, как в рассмотренном примере, а больше, то соответственно увеличилось бы число лишних неизвестных; загрузив основную систему внешней нагрузкой и этими лишними неизвестными, мм можем написать дополнительные условия, ограничивающие деформации балки в тех сечениях, где эти лишние реакции приложены. Таким путем будет получено столько же дополнительных уравнений, сколько лишних неизвестных.

8. Косой изгиб

§8.1. Основные понятия.

До сих пор мы рассматривали задачи, где стержни конструкции испытывали одну из простейших деформаций: осевое растяжение или сжатие, кручение, плоский изгиб. На практике же большинство эле­ментов конструкций и машин подвергается действиям сил, вызываю­щих одновременно не одну из указанных деформаций, а две и более.

Валы машин подвергаются действию кручения и изгиба; стержни ферм (стропильных, мостовых, крановых), помимо растяжения или сжатия, испытывают ещё и изгиб, вызываемый устройством в узлах сварных или клепаных соединений взамен шарниров, предполагаю­щихся при выполнении расчётов. Все такие случаи сопротивления стержней, когда мы имеем дело с комбинацией простейших дефор­маций, называются сложным сопротивлением.

При расчётах на сложное сопротивление обычно исходят из так называемого принципа независимости действия сил, т. е. предпола­гают, что влиянием деформаций, вызванных одной из приложенных к упругой системе нагрузок, на расположение, а следовательно, и на результаты действия остальных нагрузок можно пренебречь. Опыт показывает, что пока деформации системы малы этот принцип мо­жет быть использован (исключительные случаи, когда он вообще не применим, будут рассмотрены ниже); а поэтому для нахождения пол­ных напряжений и деформаций, возникающих в упругой системе в результате действия на неё любой сложной системы нагрузок, можно применять способ сложения действия сил, т. е. геометрически сумми­ровать напряжения и перемещения, соответствующие различным видам простейших деформаций.

В начале рассмотрим решение частных задач сложного сопротивле­ния, а, затем и самый общий случай действия сил на упругую систему.

§8.2. Косой изгиб. Вычисление напряжений.

Для вычисления нормальных напряжений при изгибе мы до сих пор пользовались формулой: Однако нормальные напряжения в каком-либо сечении балки полностью определяются по этой формуле только в случае плоского изгиба, когда искривление оси балки происходит в плоскости действия сил и нейтральной осью яв­ляется главная ось инерции поперечного сечения, перпендикулярная к плоскости нагрузки.

На практике часто встречаются случаи, когда плоскость действии сил, перпендикулярных оси стержня, не совпадает ни с одной из двух плоскостей, проходящих через ось стержня и главные оси инер­ции поперечных сече­ний стержня. Опыт по­казывает, что изогну­тая ось стержня при этом уже не будет ле­жать в плоскости дей­ствия сил, и мы будем иметь случай так назы­ваемого косого изгиба (Рис. 8.1).

Обрешетины кров­ли обычно подверга­ются нагрузкам, плоскость действия которых составляет довольно значительный угол с главными осями (Рис. 8.1); довольно часто встре­чаются и случаи, когда направление нагрузок лишь слегка откло­няется от главных осей инерции.

Покажем на при­мере метод проверки прочности и вычисле­ния деформаций балок при косом изгибе.

Рассмотрим балку, защемленную одним концом и нагружённую на другом силой P ,лежащей в плоскости торца балки и направ­ленной под углом главной оси Bz (Рис. 8.2). Вторая глав­ная ось Bz пойдет перпендикулярно к первой; направления этих осей выберем так, чтобы сила Р проходила в первом квадранте коор­динатной системы.

Для проверки прочности необходимо найти точку с наибольшим нормальным напряжением. Выведем сначала формулу для вычисления

нормального напряжения в любой точке произвольного сечения, отсто­ящего в расстоянии х от свободного конца балки.

Разложим силу Р на составляющие P_z и P_y , направленные по главным осям инерции сечении Bz и By. Величины этих составляю­щих определяются формулами

Р_z = р cos φ и Р_у — Р sinφ

Таким образом, мы привели случай косого изгиба к комбинации двух плоских изгибов, вызванных силами Р_z и Р_у, расположенными в главных плоскостях инерции балки. Суммируя напряжения и дефор­мации, соответствующие каждому из этих изгибов, мы получим ре­шение и для косого изгиба.

Изгибающие моменты в сечении с абсциссой х от сил Р_z и Р_у будут равны

Значки y и z при М обозначают главные оси, относительно которых берутся моменты; 'буквой М обозначен изгибающий момент в пло­скости действия силы Р, для прове­дённого сечения равный Рх. Применяя векторное изображение моментов, ви­дим, что для вычисления изгибающих . Моментов М_у и М_z можно было непо­средственно разложить полный изгибаю­щий момент М по главным осям (Рис. 8.3).

Для установления знаков изгибаю­щих моментов следовало бы ввести дополнительные условия, определяю­щие эти знаки в связи с переходом к пространственной задаче. Это и будет сделано ниже; сейчас же ограничимся лишь вычислением абсолютной вели­чины изгибающих моментов, влияние же направления моментов на знаки напряжений учтём при вычислении последних.

Вычислим напряжения в какой-либо точке С (с координатами у и z) расположенной в первом квадранте (Рис. 8.2). Мы имеем возможность вычислить для этой точки нормальные напряжения, вызванные отдельно моментами М_у и М_z, изгибающими балку в главных плоскостях xz и ху; в этом случае применимы формулы, полученные для плоского изгиба.

Нормальное напряжение в точке С от изгиба моментом M_y являемся сжимающим (отрицательным) и выражается формулой

— момент инерции относительно оси у,

которая при изгибе моментом М_у будет нейтральной осью. Момент М₂ вызывает в этой точке тоже сжимающее напряжение, равное

— момент инерции сечения относительно

оси z. Полное напряжение в точке С находим как алгебраическую сумму полученных напряжений:

В данном случае этой формулой можно пользоваться при вычи­слений напряжений в любой точке каждого сечения балки. Так как формула выведена для точки с положительными координатами у и то, подставляя в

нее значения координат с соответствующими зна­ками, будем всегда получать правильный знак напряжения.

Так, для точки D (Рис. 8.2) координата у будет положительна, а z — отрицательна; в соответствии с этим первое слагаемое в фор­муле представит собой положительное (растягивающее) напря­жение, а второе — по прежнему сжимающее.

Хотя формулы и получены из рассмотрения частного слу­чая косого изгиба балки, защемленной одним концом и нагружённой на другом сосредоточенной силой Р, однако, как нетрудно заметить, она является общей формулой для вычисления напряжений при косом изгибе. Для балок иначе нагружённых и закреплённых нужно лишь договориться о правиле знаков. Если положительное направление главных центральных осей инерции поперечного сечения балки всегда выбирать так, чтобы след плоскости действия сил в сечении прохо­дил через первый квадрант, то знак перед правой частью форму­лы необходимо назначать по тому действию, которое из­гибающий момент М (или, что равноценно, его компоненты) ока­зывают на любую площадку первого квадранта (при растяжении ставить плюс, при сжатии — минус). Тогда для получения правильного знака напряжения на любой другой площадке поперечного сечения достаточно учитывать знаки коор­динат у и z.

Для нахождения наибольшего нормального напряжения надо отыскать опасное сечение балки и в нём наиболее напряженную точку. Видно, что- опасным сечением будет то, где нагибающий момент М достигнет наибольшей величины.

Для нахождения опасной точки учтём, что при плоском изгибе деформация, соответствующая нормальным напряжениям, сводится к относительному повороту сечений вокруг нейтральных осей. При косом изгибе являющемся комбинацией двух плоских нагибов, мы имеем одновременный относительный поворот сечений вокруг двух осей, пересекающихся в центре тяжести сечения.

Из кинематики известно, что вращение фигуры вокруг двух пере­секающихся осей может быть заменено вращением вокруг оси, про­ходящей через точку пересечения. Таким образом, и при косом из­гибе мы в каждом сечении будем иметь линию, проходящую через центр тяжести, вокруг которой будет происходить поворот сечения при деформации балки. Эта ось и будет нейтральной; волокна, распо­ложенные в её плоскости, не будут удлиняться или укорачиваться, и нормальные напряжения в точках нейтральной оси будут равны нулю. При относительном повороте сечений наибольшую деформацию (растя­жение или сжатие) ис­пытывают волокна, наиболее удалённые от нейтральной оси.

Поэтому нахожде­ние опасных точек при косом изгибе сводит­ся к определению по­ложения нейтральной оси и -отысканию то­чек, наиболее далеко от нее отстоящих.

Уравнение нейтральной оси получим из условия, что нормальные напряжения в точках, лежащих на этой оси равны нулю. Обозначим координаты этих точек и мы должны получить для σ

Значение равное нулю:

Сокращая на М, имеем:

Это и есть уравнение нейтральной оси; она является прямой, про­ходящей через центр тяжести сечения (при y₀ = 0 и z₀ = 0).

На Рис. 8.4 изображены два поперечных сечения балок; оси у и z являются главными осями инерции. В предположении, что балки нагружены по схеме Рис. 8.4, на каждом сечении показана проекция силы Р и для каждого квадранта сечения приведены знаки нормальных напряжений; знаки выше и ниже сечения относятся к напряжениям от изгиба моментом М_у знаки справа и слева от сечения —к напряжениям от изгиба моментом М_z. Для балки, иным образом нагруженной и закреплённой (Рис. 8.5), знаки напряжений соответственно будут другими.

На Рис. 8.4 нанесено примерное расположение нейтральной оси. Так как она проходит через центр тяжести сечения, то для опреде­ления её положения достаточно знать угол а, составленный ею с осью у. Из Рис. 8.4 видно, что тангенс этого угла равен абсолют­ной величине отношения z₀ к у₀:

Получаем

Таким образом, положение ней­тральной оси не зависит от вели­чины силы Р, а лишь от угла на­клона плоскости внешних сил к оси г и от формы сечения.

Вычислив ве­личину угла α, строим на чертеже нейтральную ось, а проводя к се­чению касательные, параллельно находим наиболее напряжённые точки, как наиболее удалённые от нейтральной оси (точки 1 и 2 на Рис. 8.4).

Подставляя в формулы координаты этих точек (y₁ и z₁ или у₂ и z₂) с учётом их знаков, находим величины наибольшего растягивающего и наибольшего сжимающего напряжений. Условие прочности получает такой вид:

где у₁ и z₁ (или у₂ и z₂) — координаты точки (в системе главных центральных осей), наиболее удалённой от нейтральной оси. Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр)

Тогда формула упрощается; дляσ_(1,2) имеем

Что касается напряжений ,то их можно вычислить тем же приёмом ,которым мы пользовались при вычислении нормальных напряжений ;суммарное напряжение будет равно геометрической сумме касательных напряжений от изгиба в каждой из главных плоскостей .Практического значения определение этих напряжений обычно не имеет.