§ 6.2. Напряжения в брусе при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно, чистый изгиб. Под чистым изгибом, как уже указывалось, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а . Для тех участков бруса, где соблюдается это условие, изгибающий момент согласно второму выражению (6.1) остается постоянным ( ). Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Некоторые характерные примеры показаны на рис. 6.10.

Отвлекаясь от особенностей приложения внешних сил и условий закрепления бруса в целом, рассмотрим только тот его участок, где . На границах этого участка действуют только моменты М (рис. 6.11,а).

Под действием моментов М брус изогнется. Так как в любом сечении бруса возникает один и тот же изгибающий момент, то в случае однородного бруса изменение кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, при чистом изгибе ось однородного бруса принимает форму дуги окружности.

Рис. 6.10

Рис. 6.11

Легко обнаружить, что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся в пространстве. Действительно, рассмотрим среднее поперечное сечение АА (рис. 6.11, а). Точки этого сечения по условиям симметрии не могут получить преимущественных смещений ни вправо, ни влево, поскольку и та, и другая стороны полностью равноправны. Следовательно, это сечение остается плоским.

Разрезая брус на две равные части сечением АА, получаем участки вдвое меньшие, находящиеся точно в тех же условиях, что и целый участок бруса (рис. 131, б). Для каждой из полученных половин приведенные рассуждения могут быть повторены (рис. 6.11, в). Следовательно, средние сечения этих половин также остаются плоскими.

Этот процесс деления можно продолжать дальше. Тем самым будет доказано, что в неограниченной близости от любого наперед заданного сечения есть сколь угодно много таких сечений, для которых соблюдается высказанное условие плоских сечений. Фактически это есть доказательство того, что, вообще, все сечения однородного бруса при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются.

Рис. 6.12

Образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга (рис. 6.12). Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии (рис. 6.13). Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол верхние слои удлинятся, а нижние- укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком CD. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим:

Произвольно взятый отрезок (рис. 6.13) получит приращение длины Так как сечения остаются плоскими,

где расстояние от рассматриваемого отрезка до нейтрального слоя

Положение этого слоя пока неизвестно. Относительное удлинение слоя АВ равно

По закону Гука

Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию , называется нейтральной линией сечения.

Рис. 6.13

Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого бруса.

Свяжем теперь напряжение с внутренними силовыми факторами, возникающими в поперечном сечении бруса при чистом изгибе.

Рис. 6.14

Сумма элементарных сил (рис. 6.14) дает нормальную силу N в сечении. Но при чистом изгибе . Поэтому

или согласно выражению (6.3)

Откуда

Этот интеграл представляет собой знакомый нам из предыдущей главы статический момент сечения относительно нейтральной линии. Так как статический момент равен нулю, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, координата у в выражениях (6.2) и (6.3) получает определенность: она отсчитывается от центральной оси, перпендикулярной к плоскости кривизны. Точно так же получает определенность и кривизна , как кривизна нейтрального слоя или как кривизна оси бруса.

Внесем некоторую определенность в систему осей х, у, z, связанную с сечением (рис. 6.14). Начало координат 0 совместим с центром тяжести сечения. Ось z направим по нормали к сечению, а ось х по нейтральной линии. Ось у перпендикулярна оси х, следовательно, она лежит в плоскости изменения кривизны. Это — так называемая подвижная система осей, положение которой меняется в пространстве при переходе от одного сечения к другому.

Изгибающий момент в поперечном сечении бруса, как и нормальная сила, может быть выражен интегральным образом через напряжения :

Заметим, что в общем случае плоскость изгибающего момента в сечении с плоскостью yz (рис. 6.14) не совпадает. Иными словами, изменение кривизны бруса происходит не обязательно в плоскости изгибающего момента. Этот общий случай изгиба мы рассмотрим несколько позже, а пока ограничимся более простым частным случаем, при котором имеет место совпадение плоскостей момента и кривизны.

При указанном условии момент элементарных сил относительно оси равен нулю, а относительно оси полному изгибающему моменту . Тогда получаем

Первое выражение приводится к виду

Это значит, что изменение кривизны бруса происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совпадает, называется косым изгибом.

Из выражений (6.4) получаем зависимость кривизны бруса от изгибающего момента:

где — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости изгибающего момента.

Величина называется жесткостью бруса при изгибе. Как и при кручении, эта. величина пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения при пропорциональном их изменении.

Возвращаясь к формуле (6.3) и исключая из нее кривизну 1/ρ , получаем выражение для напряжения :

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 6.15):

Рис. 6.15

Отношение называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через

Таким образом,

Эта формула является основной при расчете на прочность бруса при изгибе.

Для бруса прямолинейного сечения со сторонами и

Для круглого сечения

Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения.

Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления . Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по возможности распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили, показанные на рис. 6.16.При изгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгоду по сравнению с прочими формами поперечных сечений.

Рис. 6.16

Момент сопротивления стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и дается в соответствующих таблицах. Поэтому при расчете бруса на прочность отпадает необходимость производить громоздкие вычисления по определению моментов инерции и моментов сопротивления. В конце книги приведены таблицы стандартных профилей. Кроме профилей, приведенных в таблицах, существуют и другие профили, например, применяемые в самолетостроении и задаваемые специальными стандартами.

Рис. 6.17

Энергия упругих деформаций бруса при изгибе определяется работой момента на взаимном угловом перемещении двух сечений (рис. 6.17):

Но

Поэтому

Рис. 6.18

При выводе формул для чистого изгиба прямого бруса не было сделано произвольных допущений и найденное решение в этом смысле можно рассматривать как точное. Однако следует иметь в виду, что в рассматриваемой задаче не конкретизирован характер распределения внешних сил. Считается только, что во всех случаях эти силы сводятся к равнодействующим моментам, приложенным к торцам бруса. Решение будет точным только для случая, если внешние силы на торцах распределены по тому же линейному закону, что и во всех поперечных сечениях. Практически это условие, понятно, никогда не соблюдается, и в окрестности торцевых сечений законы распределения напряжений далеки от тех, которые следуют из теории чистого изгиба. В соответствии с принципом Сен-Венана имеется возможность, однако, краевую зону исключить, как это показано, например, на рис. 6.18. Тогда для средней части бруса все выведенные выше формулы сохраняют свою силу и могут рассматриваться как точные.