3.9 Проверка прочности по различным теориям.

Первое, наиболее простое, предположение заключается в том, что опасное состояние материала наступает в тот момент, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает опасного значения. Эта гипотеза носит название теории наибольших нормальных напряжений, или первой теории прочности.

Таким образом, и в общем случае, когда все три главных напряжения σ1,σ2 и σ3 не равны нулю, при проверке по этой теории необходимо учитьшать величийу лишь наибольшего растягивающего или наибольшего сжимающего напряжений. Величина же двух других главных напряжений не имеет при этом как бы никакого влияния на прочность материала, на достижение им опасного состояния и о них при проверке прочности можно забыть. Тогда теряется в известной степени различие между проверкой прочности при линейном напряжённом состоянии и при объёмном.

Ели в случае простого растяжения или сжатия мы для напряжений σ1 и σ3 допускаем величинуσ, то и в общем случае, когда все три главных напряжения σ1,σ2 и σ3 не равны нулю, для наибольшего из них мы должны допустить ту же величину σ. При этих условиях коэффициент запаса по отношению к возможности появления опасного состояния будет одинаков как а случае простого растяжения, так и в общем случае.

Условие прочности для обоих случаев напишется одинаково:

σ1≤σ или σ3≤σ (3.18)

Выдвинутая вторая гипотеза принимает, что наступление опасного состояния определяется не наибольшим напряжением, а величиной наибольшего относительного удлинения или укорочения.

Если это так, то проверку прочности следует производить по наибольшим относительным деформациям. Сохраняя тот же коэффициент запаса, мы должны для наибольшей относительной продольной деформации в общем случае (все главные напряжения не равны нулю) допускать ту же величину, что и при простом растяжении.

Для общего случая мы имели формулы (3.16) для главных линейных деформаций. В зависимости от соотношения величин главных напряжений одна из этих деформаций будет численно наибольшей. Пусть это будет ε1.

Тогда εmax=ε1=1E[σ1-μ(σ2+σ3)].

Для случая же линейного напряжённого состояния мы знаем величину допускаемого напряжения σ. Тем самым для наибольших относительных деформаций допускаем величину ε=σЕ.

Условие прочности выразится так:

εmax≤ε, (3.19)

т.е.

1Еσ1-μ(σ2+σ3)≤σЕ,

Тогда

σ1-μ(σ2+σ3)≤σ. ( 3.20)

Таким образом, принимая теорию наибольших относительных удлинений, необходимо сравнивать с допускаемым напряжением, установленным для простого растяжения или другое главное напряжение, а их совокупность, так называемое приведенное (расчётное) напряжение, определяемое формулой:

σr2=σ1-μ(σ2+σ3).

Третья гипотеза возвращает нас опять к представлению о том, что главную роль в наступлении опасного состояния материала играет наибольшее напряжение, но уже не нормальное, а касательное, равное полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений:

τmax=σ1-σ32.

При этом предположении проверку прочности надо вести по касательным напряжениям. Условие прочности имеет вид:

τmax≤τ.

Что касается величины допускаемого напряжения τ, то, считая, что наступление опасного состояния зависит лишь от наибольших касательных напряжений, мы и при объемном напряжённом состоянии должны для этих напряжений допускать ту же величину, что и при простом растяжении. Степень безопасности по отношению к наступлению опасного состояния в обоих случаях будет тогда одинаковой.

Если при простом растяжении мы допускаем для нормальных напряжений величину [σ], то тем самым для наибольших касательных мы допускаем значение τ=σ2; эти касательные напряжения, как известно, действуют по площадке, наклонённой под углом в 45° к направлению растягивающей силы.

Условие прочности для объёмного напряжённого состояния принимает вид:

τmax=σ1-σ32≤σ2, илиσ1-σ3≤σ. (3.21)

В связи с недостатками старых теорий возникли новые идеи относительно того, какой фактор вызывает наступление опасного состояния.

Рядом авторов было высказано предположение, что опасное состояние материала зависит не от величины деформаций или напряжений в отдельности, а от совокупности тех и других — от величины потенциальной энергии или от численно её равной удельной работы деформации. Величина этой работы выражается через все три главных напряжения.

Если сделать предположение, что причиной опасного состояния является накопление полной удельной потенциальной энергии деформации, то прочность материала будет обеспечена при условии, что u≤u. Здесь u — потенциальная энергия деформации при объёмном напряжённом состоянии, выражающаяся формулой:

u=12Eσ12+σ22+σ32-2μ(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3),

а [u] — допускаемое количество потенциальной энергии, которое (по условию равнопрочности материала при сложном и линейном напряжённых состояниях) может быть получено из выражения для полной энергии деформации при простом растяжении:

up=σ22E.

При простом растяжении мы допускаем для нормальных напряжений величину [σ], тем самым для удельной работы деформации мы допускаем

u=σ22E.

Для соблюдения той же степени безопасности в общем случае мы для удельной работы деформации должны допускать не больше чем [u]. Условие прочности принимает вид:

12Eσ12+σ22+σ32-2μ(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3)≤σ22E

Или

σ12+σ22+σ32-2μ(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3)≤σ (3.22)

Расчётное напряжение равно

σr=σ12+σ22+σ32-2μ(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3).

Эта гипотеза опытами не подтвердилась и имеет сейчас только историческое значение. Но зато она явилась базой для создания новой энергетической теории прочности, обычно хорошо согласующейся с опытами.

Эта теория, которую обычно называют четвёртой теорией (или гипотезой) прочности, предполагает, что причиной возникновения опасной пластической деформации является не вся потенциальная энергия деформации, а только та часть её, которая связана с изменением формы элементарных объемов материала. Следовательно, прочность материала будет обеспечена, если

uф≤uф.

Здесь uф — потенциальная энергия формоизменения при сложном напряжённом состоянии, равная (1.28):

uф=1+μ3Eσ12+σ22+σ32-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1

Величина же допускаемой потенциальной энергии изменения формы для случая простого растяжения равна:

uф=1+μ3Eσ2.

Условие прочности по энергетической теории получит вид:

σ12+σ22+σ32-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1≤σ, (3.23)

а приведённое напряжение будет:

σr4=σ12+σ22+σ32-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1

Условие прочности можно представить и в ином виде, иногда более удобном для вычислений:

12(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2≤σ. (3.24)

Формулы (2.6) и (2.7) представляют условие прочности по так называемой теории наибольшей потенциальной энергии изменения формы.

Можно показать, что расчётное напряжение σr4 по этой теории пропорционально касательному напряжению по площадке, равно наклонённой к направлениям главных напряжений. Поэтому этот вид энергетической теории тоже может быть отнесён к категории теорий, основывающих проверку прочности для пластичных материалов на величине касательных напряжений. Опыты очень хорошо подтверждают результаты, получаемые по этой теории для пластичных материалов.

На основании формул (1.17) условие прочности (3.24) может быть написано еще и так: 2(τ1,22+τ1,32+τ2,32)≤σ.

Подводя итог рассмотрению теории прочности, мы можем написать условие прочности при объёмном напряжённом состоянии в таком виде:

σr≤σ

где σr- расчётное (приведённое) напряжение; σ — допускаемое напряжение при простом растяжении или сжатии. Расчётное напряжение σr может быть истолковано как растягивающее напряжение при линейном напряженном состоянии, эквивалентном рассматриваемому объёмному в отношении опасности для прочности материала.

Выбор теории прочности, а значит и формулы для σr таким образом, отвечает на вопрос: какой критерий прочности материала столь же надёжен для рассматриваемого объёмного напряжённого , состояния, как и для линейного?

Что касается приложения теорий прочности к практическим расчётам, то надо иметь в виду, что под «разрушением» мы подразумеваем для материала, находящегося в пластичном состоянии, наступление заметных остаточных деформаций — текучесть, а для материала в хрупком состоянии — появление трещин, отделение, отрыв одной части материала от другой.

Так как в зависимости от условий работы и характера напряженного состояния всякий материал может находиться и в хрупком и в пластичном состояниях, то, вообще говоря, следует принять для практического применения две теории прочности — одну, пригодную для проверки прочности материала при его пластичном состоянии, другую — при хрупком. Опыты показывают, что для пластичного состояния материала наиболее оправдываема опытами энергетическая теория прочности; несколько, но незначительно, расходится с опытами теория наибольших касательных напряжений.

Для хрупкого состояния материала, по-видимому, может иногда применяться теория наибольших удлинений; имеются опыты, которые показывают, что в ряде случаев подтверждается для такого состояния материала и теория наибольших нормальных напряжений; ею пользуются на практике при проверке прочности таких материалов, как чугун, камень и т. д.