10.Совместное действие кручения и изгиба

10.1 Определение изгибающих и крутящих моментов

В главе XI была разобрана задача проверки прочности при кручении. Однако такие части машины, как валы, редко работают на чистое скручивание. Даже прямой вал при работе изгибается собственным весом, весом шкивов, натяжением ремней. Таким образом, большинство скручиваемых элементов машин работает на совместное действие кручения и изгиба. К числу подобных же деталей относятся и коленчатые валы.

При расчёте элементов, работающих одновременно на изгиб и кручение, в первую очередь надо выяснить расчётные значения изгибающих М_и крутящих М_к моментов.

Покажем это на примере прямого вала круглого сечения со шкивом и кривошипом. Схема вала изображена на Рис. 10.1 и 10.2.

Рис.10.1

На левом конце вала расположен шкив весом Q; на него действуют натяжения ремня Т и t (T>t); на правом конце на палец кривошипа действует горизонтальная сила Р; рассмотрим момент, когда кривошип расположен вертикально. Размеры конструкции даны на чертеже.

Рис.10.2

Определим изгибающие и крутящие моменты для вала AD. Силы T и t (натяжения ремня), действующие на шкив, заменяем силой. T+t, приложенной в центре шкива, и парой (Т - t)R₀, где R₀ - радиус шкива. Сила T+t вместе с весом шкива Q производит изгиб вала; пара же (Т-t)R₀, скручивая вал, уравновешивается парой, приложенной к его правому концу.

Заменяем силу Р, действующую на палец кривошипа, такой же силой Р, приложенной к валу на продолжении его оси в точке N, и парой с моментом Rh₀. Таким образом, к концам вала приложены пары Ph₀ и (Т-t)R₀; при равновесии, равномерном ходе машины, моменты этих пар равны и дают скручивающий момент М_к=Рh₀ =(T-t)R₀.

Если известны число оборотов вала в единицу времени п и передаваемая шкивом мощность N, то величина крутящего момента М_к может быть найдена по формуле (10.1) :

; тогда (10.1)

и

; где .

Что же касается изгиба, то на вал действуют и вертикальные (Q) и горизонтальные (Т+t, Р) силы. Поэтому построим эпюры моментов для тех и

Рис.10.3

других Рис.10.3, а и б), считая опоры вала в подшипниках В и С шарнирными; одна из них имеет продольную подвижность.

Имея эпюры моментов от вертикальных и горизонтальных нагрузок, можем для каждого сечения вала найти полный изгибающий момент М_и как геометрическую сумму обеих составляющих; на Рис.10.4 показано такое геометрическое сложение векторов, изображающих изгибающие моменты для сечения В; для него полный изгибающий момент будет равен

.

Для каждого сечения мы будем иметь свою плоскость действия изгибающего момента; но так как вал имеет круглое поперечное сечение, у которого моменты противления относительно всех центральных осей одинаковы, то без влияния на результаты расчёта мы можем совместить плоскости изгибающих моментов для всех сечений и построить суммарную эпюру, располагая её в плоскости чертежа. Это и сделано на Ри.10.3, в.

Рис.10.4

Не приводя доказательства, заметим, что между сечениями В и С эпюра полного изгибающего момента М_и будет ограничена кривой, не имеющей максимума.

Из очертания эпюры видно, что опасное сечение будет либо в подшипнике В, либо в подшипнике С в зависимости от соотношения числовых данных.

10.2 Определение напряжений и проверка прочности при изгибе с кручением

Вычислив наибольший изгибающий момент М_и и крутящий М_к, можем теперь найти наибольшие напряжения в материале вала и составить условие прочности. Предполагая, что опасным является сечение С, разрежем вал в этом сечении (Рис.10.5) и воспользуемся способом сложения действия сил. Вычислим напряжения в поперечном сечении от действия изгибающего момента и присоединим к ним напряжения от скручивания.

Изгибающий момент действует в горизонтальной плоскости; нейтральная ось будет вертикальна, а наибольшие нормальные напряжения _и будут в точках с₁ и с₂ на концах горизонтального диаметра. Крутящий момент вызывает лишь касательные напряжения, которые достигнут наибольшего значения _к в точках у контура.

Рис.10.5

Таким образом, в точках с₁ и с₂ будут действовать по плоскости сечения и наибольшие нормальные и наибольшие касательные напряжения. В точках с₃ и с₄ на концах вертикального диаметра к наибольшим касательным напряжениям от кручения добавятся касательные напряжения от изгиба; однако эти напряжения будут невелики и результаты подсчётов показывают, что напряжённое состояние материала будет опаснее в точках с₁ и с₂. Выделим у этих точек элементы материала кубической формы (Рис.10.5); по четырём граням этих элементов будут действовать касательные напряжения _к; к двум из этих четырёх будут приложены ещё нормальные напряжения, две грани кубика будут свободны от напряжений (Рис.10.6). Таким образом, выделенный элемент материала испытывает плоское напряженное состояние. Как известно для проверки прочности материала в этом случае необходимо найти главные напряжения ₁ и ₃ и подставить их в условие прочности, составленное на основе той или иной теории прочности.

Рис.10.6

Подобное плоское напряжённое состояние испытывает элемент материала, вырезанный в изогнутой балке на расстоянии z от нейтральной оси. Проверку прочности такого элемента мы рассмотрели выше при решении задачи о полной проверке прочности балки. Разница лишь в том, что в балке и нормальные  и касательные  напряжения вызывались лишь изгибом.

Для проверки прочности элемента, вырезанного из вала, мы можем прямо применить выведенные формулы, подставляя в них вместо  и  величины _и и _к. Тогда получим следующие условия прочности (по четырём теориям):

(10.1)

Чтобы связать эту проверку прочности с величинами моментов М_к и М_и размерами вала, надо вычислить напряжения _и и _к. Напряжение _и, как наибольшее нормальное напряжение при изгибе моментом М_и, равно

,

где для вала круглого сечения W= ; буквой r обозначен радиус поперечного сечения вала.

С другой стороны, наибольшее напряжение при скручивании вала _к равно

.

Подставляя эти значения напряжений в первую из формул (10.1), получаем:

.

Подобным же образом могут быть получены расчётные формулы и по другим теориям прочности. Нетрудно заметить, что все эти формулы могут быть заменены одной:

, (10.2)

где М_р – расчётный момент, величина которого зависит как от М_и и М_к, так и от принятой теории прочности. Он равен по теории наибольших нормальных напряжений:

(10.3)

Формула (10.2) по своей структуре совершенно совпадает с обычной формулой проверки прочности по нормальным напряжениям при изгибе моментом М_р. Поэтому проверка прочности круглого вала на совместное действие кручения и изгиба может быть заменена проверкой на один изгиб с изгибающим моментом М_р.

В некоторых конструкциях валы, помимо скручивания и изгиба, растягиваются или сжимаются продольными силами N. Влияние этих добавочных сил на прочность вала может быть учтено добавкой к наибольшим напряжениям от изгиба _и напряжений ₀ от продольных сил: , где F - площадь поперечного сечения вала.

Из формулы (10.2) получаем

;

отсюда радиус вала равен

; d = 2r. (10.4)

Для использования этой формулы остаётся лишь установить, какой теорией прочности следует пользоваться, а следовательно, по какой из формул (10.3) вычислять расчётный момент.

Так как валы обычно делаются из стали и вообще из пластичных металлов, то при выборе теорий прочности сразу отпадает теория наибольших нормальных напряжений. До сих пор в машиностроении пользовались формулой, основанной на второй теории (наибольших удлинений), называемой иногда формулой Сен-Венана:

,

несмотря на то, что для пластичных металлов эта теория безусловно неверна; в последнее время при расчётах применяются либо формулы, основанные на третьей теории (наибольших касательных напряжений), либо - на четвёртой (энергетической) теории:

и .

В таблице 10.1 сопоставлены результаты определения диаметра вала при разных отношениях М_и к М_к при одном и том же допускаемом напряжении с учётом различных теорий прочности. Величина диаметра, полученная при применении теории наибольших удлинений (формула Сен-Венана), принята за единицу.

Таблица 10.1. Сравнение диаметров вала

Отношение Ми к Мк	Диаметры вала при применении
	II теории	III теории	IV теории
Ми = 0	1	1,15	1,10
Ми = Мк	1	1,07	1,03
Ми = Мк	1	1,03	1,01

Из этой таблицы видно, во-первых, что разница в размерах вала в зависимости от выбора той или иной теории сравнительно невелика; во-вторых, что формула Сен-Венана даёт во всех случаях меньшую величину диаметра, чем остальные две формулы. Этим и можно объяснить тот факт, что на практике до сих пор иногда пользуются формулой Сен-Венана, хотя она основана на заведомо непригодной для применяемого материала теории.

Инженер-практик должен понимать, что переход к расчёту по новым формулам, основанным на более правильных теориях, был бы всё же практически неприемлем при сохранении старых норм допускаемых напряжений. Это заставило бы требовать постановки валов большего диаметра там, где при расчёте по старой формуле Сен-Венана благополучно работали валы более тонкие.

Выход заключается в том, что при переходе к новым формулам нельзя сохранить прежний коэффициент запаса, прежнее допускаемое напряжение. Повышение точности расчёта, углубление наших знаний о работе материала требует, как правило, снижения коэффициента запаса и повышения допускаемого напряжения [].

Поэтому, вводя на практике вычисление расчётного момента по новым формулам, необходимо поднять допускаемое напряжение [] настолько, чтобы диаметры валов, благополучно работающих на практике, были оправданы новыми методами расчёта и достаточно надёжными опытными исследованиями.

11.УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

11.1 Понятие об устойчивости

Под устойчивостью понимается свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях. Если система таким свойством не обладает, она называется неустойчивой. В равной мере можно сказать, что неустойчивым является ее состояние.

В реальных условиях всегда существуют какие-то причины, по которым может произойти отклонение от исходного равновесного состояния, Следовательно, возможность перехода к новому состоянию неустойчивой системе всегда реализуется. В этом случае говорят, что произошла потеря устойчивостью. Система при потере устойчивости может вести себя по-разному, обычно происходит переход к некоторому новому положению равновесия, что в подавляющем большинстве случаев сопровождается большими перемещениями, возникновением пластических деформаций или полным разрушением. В некоторых случаях при потере устойчи­вости конструкция продолжает работать и выполняет по-прежнему свои основные функции, как, например, тонкостенная обшивка в самолетных конструкциях. Возможны, наконец, и такие случаи, когда потерявшая устойчивость система, не обладая устойчивыми положе­ниями равновесия, переходит в режим незатухающих колебаний.

Явление потери устойчивости для упругих тел можно наблюдать на целом ряде примеров.

Наиболее простым случаем является потеря устойчивости центрально сжатого стержня (рис.11.1), При достаточно большой силе стержень не может сохранять прямолинейную форму и неминуемо изогнется. Произойдет потеря устойчивости. Тонкостенная труба (рис.11.2), нагруженная внешним давлением, способна потерять устойчивость. При этом круговая форма сечения переходит в эллиптическую, а затем труба полностью сплющивается, хотя напряжения к моменту потери устойчивости далеко не достигают предела текучести.

Та же труба может потерять устойчивость и при осевом сжатии. Аналогичное явление имеет место и при закручивании трубы. Подобных примеров можно привести очень много.

Обобщая сказанное, следует отметить, что наиболее ярко яв­ление потери устойчивости проявляется в легких тонкостенных кон­струкциях: в сжатых оболочках и тонких стенках. Поэтому при проектировании подобных конструкций одновременно с расчетом на прочность ведется и расчет на устойчивость как отдельных узлов, так и системы в целом.

Рис.11.1 Рис.11.2

Одной из мер повышения запаса устойчивости системы является увеличение ее жесткости. Так, например, в практике самолетостроения тонкостенные перегородки подкрепляются специальными профилями, такая подкрепленная стенка имеет высокую степень устойчивости при сравнительно малом весе.

Для анализа устойчивости необходимо выбрать расчетную схему, основной, ставшей уже классической, является следующая. Предпо­лагается, что система является идеальной, т. е., если речь идет сжатом стержне, ось его строго прямолинейна, материал одноро­ден, силы приложены центрально. Если рассматривается цилиндрическая оболочка, то также считается, что сил имеет совершенную форму и нагрузка не отступает от предписанных законов распределения.

Идеальной системе сообщается отклонение от положения равно­весия. При этом рассматриваются отклонения, которые являются не только малыми, но могут быть сделаны меньше любой малой наперед заданной величины. Если после устранения причин, вызвавших отклонение, система возвращается к исходному состоянию равновесия, то последнее считается устойчивым. Если не возвращается должен равновесия считается неустойчивым. Силы инерции возникающие при движении системы, не учитываются.

Такой подход к анализу устойчивости позволяет для абсолютного большинства упругих систем определить такие значения внешних сил, при которых устойчивое положение равновесия становится неустойчивым. Такие силы называются критическими и рассматрива­ются для конструкции как предельные.

При расчете на устойчивость рабочая нагрузка назначается как n-я доля критической .Под величиной n понимается запас устойчивости.

11.2. Задача Эйлера

Изучение устойчивости упругих систем начнем с простейшей задачи о равновесии стержня ,сжатого центральными силами Р (рис.11.3).Впервые эта задача была поставлена и решена математиком Л.Эйлером в середине XVIII века. Поэтому часто, когда говорят об устой­чивости сжатого стержня, упот­ребляют выражения: «задача Эйлера» или «устойчивость стержня по Эйлеру». Положим, что по какой-то причине сжатый стержень не­сколько изогнулся (рис.11.3).

Рис.11.3

Рассмотрим условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью. Координаты точек упругой линии стержня обозначим через z и у. При малых прогибах

(11.1)

Изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому пол величиной J понимается минимальный момент инерции сечения.

Изгибающий момент М по абсолютной величине равен, очевидно, Ру. Вопрос о знаке изгибающего момента в подобных случаях требует особого обсуждения.

Условимся считать положительным тот момент, который увели­чивает кривизну. Рассматривая упругую линию, изображенную на рис.11.3, замечаем, что сжимающая сила Р в алгебраическом смысле кривизну уменьшает. Действительно, при положительном у упругая линия имеет выпуклость вверх. Кривизна упругой линии, следовательно, отрицательна. Момент силы Р направлен так, что еще сильнее искривляет упругую линию, делает кривизну «еще более отрицатель­ной», т. е. уменьшает ее. Таким образом

(11.2)

Для того чтобы в подобных случаях не ошибаться в знаках, можно руководствоваться следующим простым правилом: необходимо, не предугадывая формы упругой линии, изобразить ее на чертеже формально так, чтобы функция у и ее первая и вторая производные были бы положительны. Тогда, рассматривая рисунок, можно безошибочно выписать моменты сил со знаком плюс или минус в зависимости от того увеличивается или уменьшается кривизна упругой линии под действием внешних сил. Обозначим

(11.3)

Тогда уравнение примет вид

(11.4)

Откуда

(11.5)

Постоянные С₁ и С₂ должны быть выбраны так, чтобы были

удовлетворены граничные условия: при z = 0 у = 0 и при z = l y=0

Из первого условия вытекает, что С₂ = 0, а из второго —

(11.6)

Это уравнение имеет два возможных решения: либо C₁ = 0, либо же sin kl=0

В первом случае получается, что при С₁=С₂ = 0 перемещения обращаются тождественно в нуль, и стержень, следовательно имеет прямолинейную форму. Этот случай нас не интересует. Во втором случае

Где n –произвольное число. Учитывая выражение (11.3),получаем

Это означает ,что для того, чтобы стержень ,сохранял свою криволинейную форму, необходимо чтобы сила Р принимала определенное значение .Наименьшая сила Р ,отличная от нуля, будет при n=1

(11.7)

Эта сила носит название первой критической или эйлеровой силы

При имеем

И уравнение упругой линии (11.5) примет вид

Стержень изгибается по полуволне синусоиды прогибом С₁.При любом целочисленном значении n

и упругая линия стержня изображается кривой в. виде n полуволны (рис.11.4).

В полученном решении имеются очевидные неясности, которые должны быть обсуждены. Прежде всего, остается неизвестной величина максимального прогиба С₁ и из найденных соотношений не видно, как она зависит от силы Р. Кроме того, непонятно, что про­исходит при силе Р, не­сколько большей первой критической. Действи­тельно, в этом случае

Рис.11.4

тогда из уравнения (11.6), вытекает, что С₁ = С₂ = 0, поскольку sinkl≠0, Это значит, что функция у (11.5) тождественно равна нулю и стержень остается прямым. Получается, что при Р = Р_кр стержень принимает криволинейную форму, а при значении Р, не­сколько большем Р_кр, снова становится прямым, что не вяжется с физическими представлениями о механике изгиба стержня.

Указанные недоумения разрешаются довольно просто, если учесть, что дифференциальное уравнение (11.2) является приближенным и пригодно лишь в случае малых прогибов. Если это уравнение напи­сать точно, то получим:

При силе P большей критической, перемещения растут столь быстро, что пренебрегать величиной у² в знаменателе нельзя.