§ 6.5. Универсальное уравнение упругой линии балки

Из рассмотренных примеров видно, что для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии становится затруднительным. Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные. Если балка имеет п участков, необходимо совместно решить 2п уравнений для определения 2п постоянных интегрирования.

Рис. 6.30

Для бруса постоянной жесткости от указанного затруднения легко избавиться, если при составлении уравнения упругой линии придерживаться определенных правил *).

Рассмотрим брус, нагруженный наиболее часто встречающимися силовыми факторами. В качестве таковых возьмем сосредоточенный момент m, сосредоточенную силу Р и нагрузку интенсивности q, равномерно распределенную на некотором участке длины бруса (рис. 6.30). Из этих трех типов силовых факторов могут быть скомбинированы почти все встречающиеся на практике виды нагрузок. За положительные направления сил примем те, которые указаны на рисунке, т, е. для Р и q — вверх, а для момента m — по часовой стрелке. Система указанных силовых факторов должна удовлетворять условиям равновесия.

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вносимые в уравнение упругой линии различными типами внешних силовых факторов.

Сопоставим выражения изгибающих моментов для каждого из пяти отмеченных на рисунке участков:

Как видно, выражение изгибающего момента для каждого последующего участка целиком включает в себя выражение изгибающего момента предыдущего участка и отличается от него лишь добавкой нового слагаемого. При переходе от четвертого участка к пятому указанная закономерность сохранена специально. Для этого равномерно распределенная нагрузка четвертого участка продолжена, как это показано пунктиром, на пятый участок. Одновременно на пятом участке приложена отрицательная (компенсирующая) равномерно распределенная нагрузка интенсивности q.

Проинтегрируем полученные выражения один раз, не раскрывая скобок. Для того чтобы сохранить однотипность полученных выражений, интеграл от напишем в виде , что скажется только па величине произвольной постоянной В итоге получим следующие выражения для угла наклона упругой линии

Постоянные должны быть подобраны так, чтобы при переходе от одного участка к другому величина y’ не терпела разрыва. Следовательно, при . Так как брус имеет постоянную жесткость, очевидно,

Угол наклона упругой линии в начале координат определяется из выражения для первого участка

Интегрируя полученные выражения второй раз, найдем:

Постоянные должны быть определены из условий неразрывности функции у на границах участков.

Достаточно очевидно, что

где — ордината упругой линии в начале координат.

Уравнения (6.17) удобно записать в виде одного общего, так называемого универсального уравнения упругой линии балки

Для определения координат точек упругой линии первого участка следует пользоваться членами уравнения, расположенными слева от вертикальной черты с индексом I. Для второго участка надо брать слагаемые до черты с индексом II, и т. д. Для определения ординат на пятом участке следует производить вычисления, пользуясь полным уравнением (6.18).

Преимущество универсального уравнения заключается в том, что оно позволяет составлять уравнение упругой линии, минуя громоздкое определение произвольных постоянных. Независимо от числа участков, необходимо определить только две постоянные: