4.4 Чистый сдвиг. Определение главных напряжений и проверка прочности.

Расчет таких соединений, работающих на сдвиг ( заклепочные, болтовые, сварные соединения), как это уже указывалось, в значительной мере является условным. Проверка прочности на сдвиг обычно производится в предположении равномерного распределения касательных напряжений по площади сечения по формуле

τ=PF≤τ

Чтобы установить величину допускаемого напряжения τ , нам нужно было бы найти, величину предела прочности и предела текучести для стержня, в сечениях которого возникали бы только касательные напряжения, и, задавшись затем коэффициентом запаса, назначить величину допускаемого касательного, напряжения τ. Однако такой опыт поставить нельзя, так как при испытании на срез соединительного элемента (болт клепка и т. п.) в поперечных его сечениях будут возникать не только касательные , но и нормальные напряжения и деформация будет сложной.

Это заставляет нас исходить при установлении величины допускаемого напряжения τ в общем случае не из рассмотрения достаточно сложных действительных условий работы заклёпочных или иных видов соединений, а из некоторых общих теоретических соображений. Теоретическое значение τ при установлении норм, конечно, корректируется данными опытов.

Рис.4.15

Пусть мы имеем малый элемент материала, по граням которого действуют только касательные напряжения (Рис. 4.15). Такой вид плоского напряжённого состояния называется чистым сдвигом. Пусть, кроме того, допускаемое нормальное напряжение σ для материала известно, и требуется найти величину допускаемого касательного напряжения τ, написав условие прочности для рассматриваемого элемента. Задачу расчёта на сдвиг можно свести к задаче проверки прочности при сложном напряжённом состоянии.

Рис. 4.16

Для решения поставленной задачи найдём величины главных.

Заметим, что по закону парности касательных напряжений, касательные напряжения, действующие по вертикальным и горизонтальным граням элемента, одинаковы. По фасадной грани abcd нет никаких напряжений. Следователю, это — одна из главных площадок, на которой главное напряжение равно нулю.

Для определения направления и величины двух других главных напряжений воспользуемся построением круга напряжений, что можно сделать, если известны напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам (Рис. 4.16, б). От точки О, поскольку нормальные напряжения при гранях элемента (Рис. 4.15) равны нулю, отложены: вверх — отрезок ODα, равный τab=τ, и вниз — ODβ,, равный τbс=-τ. Так как точки Dα и Dβ лежат на круге, то радиус его равен ODα=τ. Отрезки ОА и ОВ определяют величины главных напряжений σ1 и σ3 и равны радиусам круга, а направление BDβ, составляющее угол 45° с нормалью к площадке bc, совпадает с направлением σ1. Следовательно, применяя обозначения имеем:

σ1=τ; σ3=-τ.

Напряжение по фасадной грани abcd σ2=0.

Таким образом, если рассечь наш элемент (при условии, что грань abcd — квадрат) диагональными плоскостями, то по сечению ас будут действовать растягивающие напряжения σ1=τ, а по сечению bd — сжимающие: σ3=-τ (фиг. 115, а). Это можно было бы доказать и иначе, не пользуясь построением круга напряжений, а рассматривая условия равновесия отсечённой части (Рис. 4.17). Такое доказательство рекомендуется читателям выполнить самостоятельно.

Рис.4.17

Следовательно, чистый сдвиг эквивалентен комбинации двух равных по числовой величине нормальных напряжений — одного растягивающего и другого сжимающего. Каждое из этих напряжений равно по числовой величине касательному напряжению, вызывающему чистый сдвиг; площадки, по которым действуют главные (нормальные) напряжения, составляют угол 45° с площадками действия только касательных напряжений.

Если мы выделим элемент из параллелепипеда abcd плоскостями, перпендикулярными к диагоналям ас и bd (Рис. 4.16, а), то этот элемент будет подвергаться растяжению в направлении bd напряжениями σ1 и сжатию в направлении ас напряжениями σ3.

Как видно по Рис. 4.16, а, из элемента, подвергающегося по его граням действию только касательных сил, можно выделить новый элемент, по граням которого действуют только нормальные напряжения. Таким образом, весь элемент, изображённый на Рис. 4.15, испытывает деформацию чистого сдвига, а материал этого элемента в то же время претерпевает в некоторых направлениях растяжение или сжатие.

Зная главные напряжения σ1,σ2 и σ3 и допускаемое напряжение для материала нашего элемента при простом растяжении σ, мы можем составить условие прочности для этого элемента, применяя ту или иную из изложенных выше теорий. По теории наибольших нормальных напряжений проводить проверку прочности не следует, так как она устарела. Поэтому мы начнём решение вопроса о проверке прочности при чистом сдвиге с применения теории наибольших относительных удлинений, которая применялась в машиностроении более полувека, хотя, строго говоря, она неприменима к пластичным материалам.

В этом случае условие прочности принимает вид:

σ1-μ(σ2+σ3)≤σ

Подставляя значения σ1=τ, σ2=0, σ3=-τ, получаем:

τ-μ(-τ)≤σ, или τ(1+μ)≤σ

Отсюда величина касательных напряжений при чистом сдвиге должна удовлетворять условию:

τ≤σ1+μ=τ

Дробь, стоящая в правой части неравенства, представляет собой допускаемую величину касательного напряжения τ при чистом сдвиге. Для стали μ≈0,3, поэтому

τ=(0,7÷0,8)σ

Если же мы возьмём за основу третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), то получим:

σ1-σ3≤σ или τ-(-τ)≤σ

Отсюда:

τ≤σ2=τ и τ=0,5σ

Наконец, по четвёртой теории прочности (энергетической) имеем:

σ12+σ22+σ32-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1≤σ

Или

τ2+τ2+τ2≤σ

И

τ≤σ3=τ

Отсюда

τ=0,57σ≈0,6σ

Мы видим, что результаты, полученные по различным теориям прочности, существенно отличаются друг от друга. Поэтому вопрос о выборе той или иной теории приобретает важное практическое значение.

Прежде расчётные формулы составлялись по теории наибольших удлинений; тогда за допускаемое касательное напряжение принимали величину τ=0,8σ. В настоящее время надо считать для пластичных материалов наиболее достоверной энергетическую теорию, по которой соотношение между τ и σ выражается формулой

τ=0,6σ

Таким образом, правильное, не схоластическое, опирающееся на практику применение новых теорий прочности не только не вызывает снижения допускаемых напряжений, а наоборот, даёт метод для их повышения, для дальнейшего использования излишних запасов прочности.