2.3 Допускаемые напряжения. Подбор сечений.
Чтобы выяснить, какую величину напряжении мы можем считать допустимой при работе стержня из выбранного материала, необходимо опытным путём установить зависимость между прочностью стержня и возникающими в нём напряжениями.
В стержнях конструкции приходится допускать при работе на растяжение нормальные напряжения [σ], в несколько раз меньшие, чем предел прочности σв; допускаемое напряжение получается делением предела прочности σв на коэффициент запаса k. Величина этого коэффициента определяется целым рядом соображений. Во всяком случае она должна быть такова, чтобы при нормальной работе стержня не только не произошло разрыва, но чтобы не образовалось и остающихся деформаций, могущих изменить схему сооружения или машины. Коэффициент запаса меняется в зависимости от характера применяемого материала, способа действия сил на элемент, экономических условий и ряда других факторов.
Таким образом, величины допускаемых напряжений [σ] для каждого случая можно считать известными. Тогда для определении необходимой величины площади поперечного сечения растянутого стержня можно (2.8), написать условие прочности; это условие должно выразить, что действительное напряжение σ в растянутом стержне при действии сил Р не должно превосходить допускаемого напряжения [σ]:
Из этого условия определяется наименьшая необходимая плошать стержня:
Пользуясь формулой (2.3), мы можем производить подбор сечения стержня.
Иногда площадь поперечного сечения является заданной. Тогда, решая формулу (2.3) относительно Р, мы производим определение допускаемой силы
2.4 Продольные и поперечные деформации
Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 2.9, а). Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину ∆l, которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).
Рис. 2.9
В
любых точках рассматриваемого бруса
имеется одинаковое напряженное состояние,
и, следовательно, линейные деформации
для всех его точек одинаковы. Поэтому
значение
можно определить как отношение абсолютного
удлинения ∆l
к первоначальной длине бруса l,
т.е.
.
Линейную деформацию
при растяжении или сжатии брусьев
называют обычно относительным удлинением,
или относительной продольной деформацией,
и обозначают
Следовательно,
Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 2.9, а), а деформацию сжатия – отрицательной (рис. 2.9, б).
Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:
Здесь N – продольная сила в поперечных сечениях бруса;
F – площадь поперечного сечения бруса;
Е – коэффициент, зависящий от физических свойств материала.
Учитывая,
что нормальное напряжение в поперечном
сечении бруса
получаем
откуда
Абсолютное удлинение бруса выражается формулой
т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.
Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.).
Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.
Величина Е, входящая в формулы, называется модулем продольной упругости (сокращенно – модулем упругости). Эта величина – физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформации.
Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.
Если
поперечный размер бруса до приложения
к нему сжимающих сил Р обозначить b,
а после приложения этих сил b+∆b
(рис. 9.2), то величина ∆b
будет обозначать абсолютную поперечную
деформацию бруса. Отношение
является относительной поперечной
деформацией.
Рис. 2.10
Опыт
показывает, что при напряжениях, не
превышающих предела упругости,
относительная поперечная деформацией
прямо пропорциональна относительной
продольной деформации ε, но имеет
обратный знак:
Коэффициент
пропорциональности
в формуле (2.16) зависит от материала
бруса. Он называется коэффициентом
поперечной деформации, или коэффициентом
Пуассона, и представляет собой отношение
поперечной деформации к продольной,
взятое по абсолютной величине, т.е.
Коэффициент Пуассона , наряду с модулем упругости Е, характеризует упругие свойства материала.
Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25-0,30; для ряда других метало (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36.
Таблица 2.1 Значения модуля упругости.
Наименование материала |
Е в миллионах кг/см2 |
Сталь |
2,0 |
Чугун (серый, белый) |
1,15÷1,60 |
Медь и ее сплавы (латунь, бронза) |
1,0 |
Алюминий и дуралюмин |
0,7 |
Каменная кладка: |
|
из гранита |
0,0,097 |
из известняка |
0,06 |
из кирпича |
0,03 |
Бетон |
0,10÷0,30 |
Дерево: |
|
вдоль волокон |
0,1 |
поперек волокон |
0,005 |
Каучук |
0,00008 |
Целлулоид |
0,0193÷0,0174 |
Таблица 2.2 Значения коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона )
Название материала |
|
Сталь |
0,25-0,33 |
Медь |
0,31-0,34 |
Бронза |
0,32-0,35 |
Чугун |
0,23-0,27 |
Свинец |
0,45 |
Латунь |
0,32-0,42 |
Алюминий |
0,32-0,36 |
Цинк |
0,21 |
Золото |
0,42 |
Серебро |
0,39 |
Стекло |
0,25 |
Камни |
0,16-0,34 |
Бетон |
0,08-0,18 |
Каучук |
0,47 |
Пробка |
0,00 |
Фанера |
0,07 |
Целлулоид |
0,39 |