5.9 Статически неопределимые задачи при кручении

При расчете на кручение прямых брусьев, жестко защемленных одним концом, а также при расчете валов (представляющих собой вращающиеся брусья, нагруженные взаимно уравновешенными скручивающими моментами) значения крутящих моментов в поперечных сечениях можно определить с помощью одних лишь уравнений равновесия (методом сечений). Следовательно, такие задачи являются статически определимыми.

Задачи расчета на крученее являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях( скручиваемых стержней, нельзя определить с помощью только уравнений равновесия. Для решения этих задач дополнительно к уравнениям равновесия, составляемым для системы в целом или ее отсеченной части, необходимо составить также уравнения перемещений, основанные на рассмотрении характера деформации системы.

Рассмотрим для примера брус круглого сечения, жестко заделанный обоими концами и нагруженный моментом M на расстоянии а от левого конца (рис. 5.20, а).

Для решения данной задачи можно составить лишь одно уравнение равновесия — в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси бруса:

∑Mx=M1-M+M2=0

Где M1 и M2 - реактивные скручивающие моменты, возникающие в заделках.

Дополнительное уравнение для решений рассматриваемой задачи можно получить следующим образом. Отбросим левое опорное закрепление бруса, но оставим правое (рис. 5.20, б). Поворот левого конца полученного таким путем бруса должен быть равен нулю, т. е.αB=0, так как в действительности этот конец жестко закреплен и не может поворачиваться. На основании принципа независимости действия сил уравнение перемещений имеет вид

αB=αB1+αB2=0

Здесь αB1 — угол поворота левого конца бруса от действия внешнего скручивающего момента m1 (рис.5.20, в); αB2 — угол поворота левого конца от действия внешнего момента m (рис. 5.20, г).

Учитывая, что правый конец бруса не поворачивается (т. е. αA=0) находим

αB1=-φ1=-M1lGJp;

αB2=-φ2=-MbGJp

Подставим эти значения в уравнение перемещений:

-M1lGJp+MbGJp=0,

Откуда

M1=Mbl.

Из уравнения равновесия

M2=M-M1=Mal.

После определения моментов M1 и M2 эпюру крутящих моментов можно построить обычным способом, т. е. как для статически определимого бруса (рис. 5.20, д). Для рассмотренной задачи эта эпюра представлена на (рис. 5.20, е).

Рис.5.20

Наглядное представление об изменении углов поворота поперечных сечений бруса по его длине дает эпюра углов поворота (иногда ее называют эпюрой углов закручивания). Каждая ордината этой эпюры дает в принятом масштабе величину угла поворота соответствующего поперечного сечения бруса.

Построим такую эпюру для бруса по рис. 5.20, (1, учитывая при этом, что значение M1 уже найдено и эпюра крутящих моментов построена (см. рис. 5.20, е). Крайнее правое сечение А бруса неподвижно, т. е.αA=0. Произвольное поперечное сечение, принадлежащее участку АС и отстоящее на расстояние х от правого конца, повернется на угол

αx=αA-φx=0+M2xGJp=MalxGJp

Здесь φx — угол закручивания на участке длиной х

Таким образом, углы поворота изменяются по линейному закону в зависимости от расстояния х. Подставляя в полученное выражение x=b, найдем угол поворота сечения С:

αC=MalbGJp

Заметим, что всегда при нагружении бруса постоянного сечения сосредоточенными скручивающими моментами эпюра углов поворота поперечных сечений на каждом из участков бруса линейна.

Для построения эпюры па участке СВ вычислим угол поворота сечения В. αB=αC-φCB=MalbGJp-M1aGJp=MalbGJp-MblaGJp=0

Этот результат подтверждает правильность решения задачи, как по условию сечение В жестко заделано. Таким образом, кроме чисто иллюстративного значения, построение эпюры углов поворота, поперечных сечений можно рассматривать как метод контроля решения некоторых статически неопределимых задач.

Построенная по полученным значениям эпюра углов попорота представлена на рис. 23.6, ж.

При расчете цилиндрических пружин наряду со статически определимыми встречаются также и статически неопределимые задачи.

Если концы пружины не закреплены и могут свободно перемещаться вдоль осп пружины или если закреплен лишь один ее конец, то задача расчета такой пружины статически определима.

Если же оба конца пружины неподвижно и закреплены, то задача ее расчета статически неопределима. Для её решения необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Составление этого уравнения аналогично составлению уравнения, применяемого при решении задач расчета прямого стержня, закрепленного обоими концами, на внешние нагрузки, действующие вдоль его оси.

Примером статически неопределимой задачи расчета пружин является система, представленная на рис.5.21. Эта система называется концентрической пружиной и представляет собой две пружины, вставленные одна в другую, и работающие совместно. Из условия равновесия верхней плиты, к которой приложена сила Р, следует что сумма сил P1 и P2, сжимающих наружную и внутреннюю пружины, равна внешней силе Р. Это единственное уравнение равновесия, которое можно составить для определения двух неизвестных P1 и P2, т.е. задача один раз статически неопределима.

Уравнение перемещений в рассматриваемой задаче должно выражать равенство осадок внешней и внутренней пружин:

λ1=λ2 или δP1D13n1Gd14=δP2D23n2Gd24.

Решение этого уравнения совместно с условием равновесия P=P1+P2 позволяет найти усилия в пружинах, а затем выполнить расчет их на прочность.

Рис.5.21