2.6 Основные механические характеристики материала

Чтобы дать количественную оценку описанным выше свойствам материала, перестроим диаграмму растяжения Р=f(Δl) в координатах σ и ε. Для этого уменьшим в F раз ординаты и в l раз абсциссы, где F и l – соответственно площадь поперечного сечения и рабочая длина образца до нагружения. Так как эти величины постоянны, то диаграмма (рис. 2.13) имеет тот же вид, что и

и

Рис. 2.13

диаграмма растяжения, но будет характеризовать уже не свойства образца, а свойства материала.

Отметим на диаграмме характерные точки и дадим определение соответствующих им числовых величин.

Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности (σ_п).

Величина предела пропорциональности зависит от той степени точности, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую. Степень отклонения кривой от прямой определяют по величине угла, который составляет касательная к диаграмме с осью σ. В пределах закона Гука тангенс этого угла определяется величиной 1/Е. Обычно считают, что если величина dε/dσ оказалась на 50% больше чем 1/Е, то предел пропорциональности достигнут.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости. Под пределом упругости (σ_у) понимается такое наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

Следующей, более определенной характеристикой является предел текучести. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.

Если необходимо отличить предел текучести на растяжение от предела текучести на сжатие, то в обозначение вводится дополнительный индекс «р» или «с» соответственно растяжению или сжатию. Таким образом, для предела текучести получаем обозначения и .

Предел текучести легко поддается определению и является одной из основных механических характеристик материала.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит название предела прочности, или временного сопротивления, и обозначается через (на сжатие - ).

При испытании на растяжение определяется еще одна характеристика материала. Это – так называемое удлинение при разрыве δ%.

Удлинение при разрыве представляет собой величину средней остаточной деформации, которая образуется к моменту разрыва на определенной стандартной длине образца.

2.7 Работа силы при ее статическом действии. Потенциальная энергия деформации

Рассмотрим нагружение бруса силой Р (рис. 2.14, а), величина которой медленно увеличивается от нуля до своего конечного значения. Такое нагружение называется статическим. Сила Р вызывает продольную деформацию бруса, в результате чего сечение бруса, в котором она приложена, смещается. При этом сила Р совершает работу.

Построим диаграмму растяжения бруса силой Р. По оси ординат отложим величины силы Р, а по оси абсцисс – соответствующие им перемещения δ нижнего конца бруса (рис. 2.14, б).

Обозначим через t момент времени, которому соответствуют некоторые значения силы Р и перемещения δ. В последующий бесконечно малый промежуток времени dt сила Р получит приращение dP, а нижний конец бруса опустится на dδ. Составим выражение работы силы Р на перемещении dδ, отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка малости:

Работа dA равна (с учетом масштабов, в которых отложены значения Р и δ) площади dΩ (рис. 2.14, б). Полную величину работы А при изменении силы Р от нуля до Р₁ получим интегрированием последнего выражения:

Таким образом, работа А равна площади диаграммы растяжения, заштрихованной на рис. 2.14, б.

Рис. 2.14

Вся площадь диаграммы ОАВСD (рис. 21.2, б) равна работе, затраченной на разрыв бруса. Применение материала (например, стали) с более высокой прочностью может приводить к уменьшению работы, затрачиваемой на разрыв бруса, если эта сталь обладает меньшей пластичностью (рис. 2.15) и площадь для нее меньше.

Рис. 2.15

Если напряжения в брусе при действии силы Р не превышают предела пропорциональности, то величина представляет собой площадь треугольника, имеющего высоту Р, и основание δ, которое по закону Гука определяется выражением

В этом случае работу можно определить по формуле

Исключим из формулы (2.20) силу Р с помощью следующих зависимостей:

тогда получим другие выражения работы:

Наличие в знаменателях формул (2.20) и (2.21) множителя 2 объясняется тем, что в эти формулы входят конечные значения Р, δ, или σ, в то время как в действительности они изменялись от нуля до этих значений.

При напряжениях, не превышающих предела упругости, изменение теплового и электромагнитного состояния материала незначительно, и им можно пренебречь. Поэтому вся работа внешней силы на основании закона сохранения энергии накапливается в материале тела в виде потенциальной энергии деформации. В процессе разгружения тела эта энергия расходуется на восстановление его первоначальных формы и размеров. Таким образом, упругое тело обладает способностью запасать (аккумулировать) энергию. Обозначив потенциальную энергию деформации U, получим

U=A, (2.22)

или (при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности) на основании (2.20) и (2.21):

Последнее выражение можно представить в виде

где V – объем бруса, V=Fl.

Разделив левую и правую части формулы (2.24) на V, получим количество потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема бруса, т.е. величину так называемой удельной потенциальной энергии деформации*:

2.8 Собственный вес бруса.

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает центральное растяжение или сжатие. Если вертикальный брус закреплен верхним концом, то от собственного веса он растягивается, а при закреплении нижнего конца – сжимается. Собственный вес вертикального бруса можно рассматривать как продольную (осевую) внешнюю нагрузку, распределенную вдоль оси бруса.

Рассмотрим брус постоянного сечения, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом (рис. 2.16, а).

Продольная сила N_x в поперечном сечении х этого бруса (на расстоянии х от его нижнего конца) равна весу нижележащей части бруса, т.е.

где - удельный вес материала бруса;

F – площадь поперечного сечения бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются по формуле

Эпюры N и σ, показывающие изменение продольной силы и нормальных напряжений по длине бруса, изображены на рис. 2.16, б, в.

Рис. 2.16

Удлинение бруса Δl определяется из выражения

Умножая числитель и знаменатель последнего выражения на F, и учитывая, что , где G – вес всего бруса, получаем