§7.2. Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.

При проверке частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислять моментов инерции таким простым путем, каким мы пользовались для прямоугольника и круга.

Таким сечением может быть, например, тавр (Рис. 7.8, а), кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные конструкции) (Рис. 7.8, б), кольцевое сечение шейки вала или ещё более сложное сечение (Рис. 7.8, в). Все эти сечения можно разбить на простейшие, как-то: прямоугольники, треугольники, круги и т.д. Можно сказать что момент инерции такой сложной фигуры является суммой моментов инерции частей, на которые мы её разбиваем.

Возьмем (Рис. 7.9) какую угодно фигуру, изображающую поперечное сечение балки; в её плоскости проведена ось у – у .Момент инерции этой фигуры относительно у-у равен: ,где z расстояние элементарных площадок dF до оси у-у.

Разобьем взятую площадь на четыре части: , , , .

Теперь при вычислении момента инерции можно сгруппировать слагаемые в подынтегральной функции так, чтобы отдельно произвести суммирование для каждой из выделенных четырех площадей, а затем эти суммы сложить. Величина интеграла от этого не изменится.

Наш интеграл разобьется на четыре интеграла, каждый из которых будет охватывать одну из площадей F1, F2,F3 или F4:

Каждый из интегралов представляет собой момент инерции соответствующей части площади относительно оси у – у; поэтому

где момент инерции относительно оси у –у площади , - то же для площади и т д.

Полученный результат можно формулировать так: момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных её частей.

Поэтому, чтобы вычислить например, момент инерции сечения, изображенного на Рис. 7.8, в, относительно оси Оу, необходимо найти моменты инерции прямоугольников и треугольников относительно оси Оу и затем сложить их. Таким образом, нам необходимо уметь вычислять момент инерции любой фигуры относительно любой оси, лежащей в её плоскости. Решение этой задачи и составляет содержание настоящей главы.

§ 7.3. Подбор сечения балок по допускаемым нагрузкам.

Все предыдущее изложение было построено на методе подбора сечения и проверки прочности балок по допускаемым напряжениям. Но уже на примере скручиваемого стержня мы видели, что при неравномерном распределении напряжений по сечению метод подбора размеров сечения по допускаемым нагрузкам даёт иной результат. Подобный же случай мы имеем и при изгибе. В методе расчета по допускаемым напряжениям мы пользовались для подбора сечения балок условием:

.

Здесь для материалов, имеющих площадку текучести (мягкая сталь), было равно

Где - предел текучести, а - соответствующий коэффициент запаса.

Таким образом, опасным мы представляем себе здесь то состояние, когда наибольшее напряжение в опасном сечении балки дойдет до предела текучести. Изгибающий момент при этом состоянии назовем дойдет до предела текучести. Изгибающий момент при этом состоянии назовем дойдет до предела текучести. Изгибающий момент при этом состоянии назовем ; он соответствует достижению грузоподъёмности материала в наиболее напряженных волокнах опасного сечения балки. Однако этому состоянию не будет отвечать исчерпание грузоподъёмности всей балки, как конструкции.

Возьмем стальную балку симметричного (например прямоугольного или двутаврового) сечения (Рис. 7.10, а и б). При моменте, равном , распределение напряжений в опасном сечении показано на Рис. 7.10, в, напряжение дошло до предела текучести лишь в крайних волокнах, вся остальная часть балки находится в упругом состоянии. Поэтому для дальнейшей деформации балки необходимо новое увеличение нагрузки и изгибающего момента: грузоподъёмность балки ещё не исчерпана.

При увеличении момента зона текучести будет распространяться внутрь балки, эпюра напряжений примет вид, показанный на Рис. 7.10, г, и в пределе, когда материал по всей высоте сечения потечёт и грузоподъемность балки будет полностью исчерпана, эпюра напряжений примет форму двух прямоугольников (Рис. 7.10, д). Изгибающий момент на этой стадии работы балки и будет предельным, разрушающим для балки в целом. Дальнейшая деформация балки пойдет еже без увеличения момента, в опасном сечении образуется так называемый пластический шарнир.

Определим величину этого предельного момента . Он будет равен сумме моментов относительно нейтральной оси усилий по Рис. 7.10, д. На площадку dF на расстоянии z от нейтральной оси будет действовать сила dF, момент этой силы относительно нейтральной оси равен dF *z. По симметрии сечения достаточно вычислить сумму моментов этих сил для верхней и нижней половины сечения и результат удвоить; тогда

,

где F-площадь всего сечения. Так как постоянно для всех точек сечения, то

,

поскольку интеграл

,

Представляет собой статический момент половины сечения относительно нейтральной оси. Условие прочности имеет вид

;

При коэффициенте запаса получаем:

И .

Следовательно, при расчете по допускаемым нагрузкам вместо подбора сечения симметричной балки по её моменту сопротивления W приходится подбирать размеры по величине удвоенного статического момента полу сечения балки. Для прямоугольного сечения высотой h и шириной b.