11.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

В пределах малых перемещений для стержня, шарнирно закреп­ленного по концам, изгиб при потере устойчивости происходит по полуволне синусоиды, и критическая сила равна

Используя особенности упругой линии, оказывается возможным; довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, например, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом — свободен (рис.11.5), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня. Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом стержня длины l равна будет критической силе шарнирно закреплен­ного стержня, имеющего длину 2l. Таким образом, в рассматриваемом случае

Шарнирно закрепленный стержень, имеющий посредине опору (рис.11.6), при потере устойчивости изогнется по двум полуволнам.

Рис.11.5

Следовательно, каждая его половина теряет устойчивость как шарнирно опертый стержень, имеющий длину .Поэтому

Обобщая полученные формулы можно написать общее выражение критической силы для сжатого стержня в виде

Рис.11.6

Где μ-коэффициент приведения длины .Это число показывающее ,во сколько раз следует увеличить длину шарнирно опертого стержня ,чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления .Для стержня показанного на (рис.11.6), μ== . на рис.11.7 показано несколько видов закрепления стержня длинны µ. Во всех случаях, кроме последнего, значение µ определяется путем простого сопоставления упругой линии изогнутого стержня с длинной полуволны синусоиды при шарнирном закреплении.

Последний случай из показанных на рис.11.7 нужно рассмотреть особо. Здесь на упругой линии стержня имеется две точки, в

Рис.11.7

Которых кривизна равна нулю: точка А и В(рис.11.8). в отличии от других случаев эти точки не находятся на прямой, параллельно линии действия сил P. Следовательно, здесь возникает поперечная сила R (рис.11.8), которая в рассмотренных ранее случаях, закрепления отсутствовало.

Составим дифференциальное уравнение упругой линии изогнутого стержня. Очевидно,

Или же

Откуда

Постоянные С₁, С₂ R должны быть подобранны так, чтобы удовлетворялись следующие граничные условия: при z=0 y=0 и y^,=0 а при z=l y=0 соответственно этим условием выписываем три уравнения:

Рис.11.8

=0

Теперь имеются две возможности.

1. Система дает решение С₁=С₂=0, R=0. Тогда y 0 и стержень остается прямым. Этот случай нас не интересует.

2. Постоянные С₁,С₂ и R не все равны нулю, и стержень, следовательно получаем поперечные перемещения.

Система однородных уравнений дает ненулевое решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Таким образом, получаем условие искривления стержня в виде

=0

Откуда

Рис.11.9

Это трансцендентное уравнение должно быть решено относительно . Проще всего это сделать графически, а в дальнейшем, уточнить решение путем подбора по таблицам тригонометрических функций.

Изобразим на графике кривую и прямую (рис.11.9).

Абсциссы точек их пересечения дают корни рассматриваемого уравнения. Наименьший корень, отличный от нуля будет

Тогда

Таким образом .

11.4 Энергетический метод определении критических нагрузок.

Выше критические нагрузки определялись путем решения дифференциальных уравнений упругой линии балки. Этот прием далеко не всегда удобен, а в ряде случаев приводит к со­вершенно непреодолимым трудностям вычислитель­ного характера. Поэтому при решении многих задач более предпочтительным оказываются приближен­ные способы определения критических нагрузок, менее точные, но более простые. Среди этих способов наибольшее распространение получил энергетический метод.

Рис.11.10

Положим, что стержень (рис.11.10) сжат силой Р, меньшей кри­тического значения. В этом случае он находится в устойчивом поло­жении равновесия. Его можно изогнуть, прикладывая к нему попереч­ную нагрузку (сила Р). При переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к криволинейной силы Р и P1, свершат работу, в результате чего увеличится потенциальная энергия изгиба стержня. Энергетический баланс системы можно выразить в виде следующего уравнения

где A (P₁) — работа поперечной силы Р₁, а λ — перемещение точки приложения продольной силы. Произведение Pλ в отличие от рассматривавшихся ранее случаев множителя 1/2 не имеет, поскольку на пути λ сила Р остается неизменной.

Одна и та же энергия изгиба U может быть получена при различных соотношениях сил Р и P₁. Из уравнения (14.41) видно, что при неизменном U

Рис.11.11

большей силе Р соответствует меньшее значение поперечной силы P₁. Возможен, очевидно, случай, когда переход от прямолинейной формы равновесии к криволинейной произой­дет без приложения добавочных поперечных сил. Это имеет место, как мы знаем, при критическом значении продольной силы. Уравнение в этом случае принимает вид

В обычных системах, например при изгибе балки, поперечные нагрузки производят работу на прогибах, являющихся перемещениями первого порядка малости. Полученное выражение имеет своей отличительной особенностью то, что в нем учитывается работа внеш­них сил на перемещениях второго порядка малости λ. Именно это обстоятельство и характерно для задач, связанных с явлением потери устойчивости.

Выразим величины U и λ через поперечные перемещения стержня у (рис.11.11).

Энергия изгиба выражается через изгибающий момент следующим образом

Учитывая, что , получим

Перемещение λ может быть определено как разность между длиной I проекцией изогнутой упругой линии на прямую, соединяющую опоры, Очевидно (см. рис.11.11),

Но при малых прогибах . Поэтому

Таким образом, из выражения (11.1) находим

(11.2)

Если функция у известна, то определяется без труда. Например, для шарнирно закрепленного стержня (рис.11.11), как мы уже знаем,

После постановки у в выражение(11.2) находим уже известное значение:

В действительности функция у остается неизвестной до тех пор пока не решено дифференциальное уравнение упругой линии. Получается, что для определения критической силы надо вернуться к прежнему методу решения.

Однако функция может быть задана приближенно. При этом погрешности в форме упругой линии мало сказываются на величине критической силы. Поэтому можно получи достаточно точное реше­ние, задаваясь функцией у из простых физических соображении, т. е. примерно «угадывая» форму упругой линии.

Допустим, нам не известно, что стержень, шарнирно закрепленный по концам, при потере устойчивости изгибается но полуволне сину­соиды. Зададимся какой-либо другой «похожей» кривой. Примем, например, что стержень изгибается по дуге параболы (11.6)

Выбирая функцию, мы, естественно, должны следить за тем, чтобы она удовлетворяла граничным условиям. В данном случае при z=0 перемещение у обращается в нуль и граничные условия, соблюдаются. Вместе с тем можно сказать, что выбранная функция не очень удачна, поскольку y'' =const. Это означает, что кривизна стержня при потере устойчивости постоянна, в то время как на самом деле она будет наибольшая посередине и равная нулю по концам стержня.

Посмотрим, однако, что дает приближенный прием в этом случае.

Подставляя принятую функцию (11.6) в выражение (11.2), находим

Даже при этом, довольно грубом, приближений ошибка, как видим, не столь велика.

Точность решения может быть резко увеличена, если учесть харак­тер изменения изгибающего момента по длине стержня. Можно, напри­мер, принять, что по закону квадратной параболы изменяется не прогиб, а кривизна. Тогда

После интегрирования

Постоянную а подбираем так, чтобы у обратилось в нуль посередине стержня. Тогда

Подставляем в выражение (14.45) и после интегрирования находим

Что только в третьем знаке отличается то точного значения критической силы.

12.Учёт сил инерции и колебаний