16. Обчислення функцій. Похибки

Обчислення функцій за формулами в задачах електроенергетики, як правило, не зводиться до їх табуляції, а виконується по ходу розв'язування певної основної задачі, наприклад, розв'язування систем нелінійних рівнянь, в яких параметри ви­ражаються деякими функціями. Так само використовують табличні та графічні функції.

Під час обчислень функцій користуються наближеними числами. Їх поділяють на наближені числа за недостачею, якщо такі числа менші дійсних значень, і за за­лишком, якщо вони більші.

Абсолютною похибкою наближеного числа називають модуль різниці даного на­ближеного та дійсного значень числа. Оскільки дійсне значення звичайно не відоме, то найчастіше користуються поняттям граничної похибки, яка є числом, не меншим абсолютної похибки. Вид наближеного числа показує його абсолютну похибку. А саме, вона не біль­ша половини одиниці його останнього розряду. Наприклад, абсолютні похибки наближених чисел 120; 80,0; ; 3,1416 становлять відповідно 0,5; 0,05; 50; 0,00005. Одне й те саме наближене число, записане в різних виглядах, має різну похибку. Наприклад, число 25 000 має абсолютну похибку 0,5, а число — відповід­но 500.

Основною характеристикою точності наближеного числа є його відносна похибка, яка дорівнює відношенню абсолютної похибки до дійсного значення числа. Оскільки дійсне значення, як правило, не відоме, то беруть наближене число. Звичайно корис­туються граничною відносною похибкою, що означає число, не менше відносної похибки.

Гранична абсолютна похибка функції визначається добутком абсолютної величини її похідної на граничну абсолютну похибку аргументу.

Припустимо, що — наближене значення аргументу з абсолютною похиб­кою

Тоді абсолютна похибка функції

Абсолютна похибка добутку величин

(4.12)

Абсолютна похибка частки визначається як

(4.17)

Абсолютна похибка степеня визначається як

(4.20)

Абсолютна похибка кореня визначається як

(4.23)

Отже, під час алгебричного додавання величин їхні абсолютні похибки дода­ються, множення та ділення — відносні похибки теж додаються, піднесення до сте­пеня — відносна похибка множиться на модуль показника степеня, добування коре­ня — відносна похибка ділиться на показник степеня

17. Інтерполяція функцій

Під поняттям інтерполяція (від лат. interpolatio — зміна) функ­цій розуміють, з одного боку, визначення проміжних значень табульованої функції між двома значеннями аргументу, або знаходження аналітичного виразу функції за її табличними значеннями — з другого.

У певному розумінні друга задача є оберненою до табуляції функ­ції. Розглянемо саме таку задачу, оскільки перша вивчається в еле­ментарній математиці.

Припустимо, що задана таблиця функції у вигляді мно­жини пар і треба знайти її аналітичний ви­раз. У такій постановці задача неоднозначна, тому що через задані точки можна провести скільки завгодно кривих. Для однозначності задачі треба ввести додаткову умову, наприклад, задати характер (тип) функції. Класичною є задача визначення функції у вигляді полінома степеня , що менший на одиницю від кількості пар множини коорди­нат заданих точок. Отже, йде мова про визначення параметрів поліно­ма для якого надано значення в окремих точках, тобто

(4.31)