34. Багатокрокові явні методи.
У
багатокрокових методах чисельного
аналізу наближене значення інтегральної
вектор-функції
на
-му
кроці обчислень знаходитеся на основі
інтегрування інтерполяційного полінома
функції Правої частини диференційного
рівняння (5.2) за значеннями цієї Функції
в декількох точках. Тобто на
-му
кроці інтегрування здійснюється
за виразом
|
(5.104)
де
- інтерполяційний
вектор-поліном правої частини
дифе-ренційного рівняння (5.2) з початковою
умовою
|
(5.105)Для виведення робочих формул багатокрокових методів користуються інтерполяційними поліномами Ньютона або Лагранжа.
Метод
Мілна.
Цей метод є одним з найпростіших
багатокрокових методів чисельного
аналізу. Він виводиться на основі
дворазового застосування формули
(5.104) при границях інтегрування
та
для
апроксимованої правої частини рівняння
(5.2) на основі першої
інтерполяційної формули Ньютона (4.40)
за чотирма значеннями функції в інтервалі
інтегрування. При цьому обмежуються
різницями 3-го порядку, тобто інтегральна
вектор-функція (5.104) апроксимується
поліномом 4-го порядку. Отже, на основі
(4.40), позначивши
при
та постійному кроці
,
для багатовимірного
рівняння запишемо
|
(5.106)
Інтегруючи
почленно (5.106) у межах від
до
,
на
основі (5.104)
виводять першу
формулу (формулу прогнозу) методу Мілна
(під час інтегрування здійснюється підставлення
|
чи, враховуючи (5.2),
|
(5.107)Для виведення другої формули (формули корекції) методу Мілна інтегрують (5.106) у межах з підставленням
|
|
і, враховуючи (5.2), (5.107),
|
(5.108)З метою оцінки локальної похибки методу Мілна визначають головні члени похибок першої та другої формул, які виникають внаслідок відкидання різниць четвертого порядку в (5.106) (тобто похибка оцінюється з точністю до різниць п'ятого порядку). У результаті одержують контрольну формулу Мілна
|
(5.109)
Гранична
локальна похибка, як видно з формули
(5.106), пропорційна
.
Для
застосування методу Мілна на кожному
кроці необхідно знати
чотири
попередні значення інтегральної функції
Отже,
для старту потрібно на основі початкової
умови
однокроковим
методом обчислити значення
(звичайно
методом не нижче
четвертого порядку, оскільки необхідно
забезпечити якомога точніший
початок обчислень). Далі за (5.107) знаходять
прогнозоване
значення
вектора-функції
і
за (5.108) - скоректоване значення
вектора-функції
.
Якщо
локальна похибка, обчислена за (5.109),
перевищує
задану допустиму, то здійснюється
повторне перечислення з
половинним, а треба - то й з четвертинним
кроком і т. д.
Формули
(5.107) - (5.109), очевидно, справедливі й для
одновимірних
рівнянь, якщо інтегральну вектор-функцію
замінити
одновимірною
.
Багатокрокові неявні методи
Метод
Адамса-Мултона. Якщо під час інтегрування
за формулою (5.104) поліном (5.110) прийняти
в границях інтегралу
то одержимо загальну формулу неявного
методу Адамса - методу Адамса-Мултона:
|
при
(5.118)
Ця
формула відрізняється від загальної
формули (5.111) явного методу лише тим, що
тут включена також похідна
у точці
тобто
При
найширше застосовують такі формули
методу Адамса - Мултона:
|
|
|
(5.119)
(5.120)
(5.121)Локальні похибки формул (5.119) - (5.120) виражаються як
|
|
|
(5.122)
(5.123)
(5.124)
де
Очевидно, метод Адамса поширюється й на одновимірні рівняння.
Формули неявного методу мають набагато вищу точність, ніж формули явного. Однак їх застосування, як зрештою завжди у випадку неявних методів, вимагає розв'язування на кожному кроці інтегрування скінченних рівнянь для визначення функції і, очевидно необхідно також забезпечити старт алгоритму.
Найефективнішим є розрахунок за схемою прогнозу та корекції. При цьому прогноз здійснюється на основі явних формул (5.112) - (5.114), а корекція - в ітераційному циклі (найкраще в методі Ньютона) за формулами (5.119) – (5.121).
Метод Хеммінга. Кількість ітерацій під час корекції за формулами (5.119) - (5.121) чи (5.125) визначається точністю прогнозу обчислення нульових наближень за формулами (5.112) - (5.114). У зв'язку з цим розроблені модифікації методу Адамса з підвищеними точностями прогнозу, за рахунок чого в корекції усуваються ітерації - власне методи набирають форми явних методів. Але перед корекцією прогнозоване значення інтегральної функції виправляється з урахуванням локальної похибки на попередньому кроці. Такі методи називають методами прогнозу - модифікації - корекції. Серед них найефективніший метод Хеммінга. Тут на -му кроці інтегрування використовуються такі операції.
Прогнозується інтегральна вектор-функція
|
(5.127)Обчислюється модифікація
|
(5.128)виконується корекція
|
(5.129)обчислюється нове значення функції
|
(5.130)