26.Чисельні методи розв’язування систем лінійних скінченних рівнянь

Тут розглядаються практично всі вживані в задачах електроенергетики методи чесельного розв’язування рівнянь.

Метод простої ітерації. Для застосування простої ітерації рівняння (4.134) необхідно записати в явному вигляді. З цією метою множимо рівняння (4.134) на діагональну матрицю , елемнти якої дорівнюють оберненим значенням відповідних елементів матриці . Додавши до цього рівняння вектор , знаходимо

(4.222)

Метод ітерації Зайделя. У методі простої ітерації визначається з рівняння (4.225) шляхом підставлення в праву частину , знайдених на попередньому кроці наближення. Отже, наступні наближення повністю визначаються наближеннями попереднього кроку. Але ми маємо змогу під час знаходження наближень «старших» невідомих (наприклад, ) підставляти наближення «молодших», одержаних не на попередньому, а на цьому кроці (тобто не , а ). Це означає, що процес ітерації можна здійснити так:

Збіжність ітерації Зайделя оцінюється подібно як і для простої ітерації, але швидкість збіжності тут помітно вища, ніж збіжність простої ітерації.

Метод найвищого спуску. Нехай векторне рівняння

неперервне і має неперервні похідні в околі його визначення. Обчислення коренів цього рівняння можна звести до знаходження мінімуму деякої скалярної функції Таку функцію найпростіше визначити як скалярний добуток функції (4.236) на себе

Вектор-корінь рівняння відповідає нульовому значенню функції . Якщо це рівняння має тільки ізольовані корені, то вони відповідають точкам нульового мінімуму функції. Отже, задача розв’язання рівняння зводиться до знаходження такого мінімуму функції у багатовимірному просторі координат

Метод виправлення наближеної оберненої матриці. У багатьох випадка, і зокрема в задачах електроенергетики, вдається досить просто відшукати грубе наближення оберненої матриці. І якщо зуміти його відносно просто виправити, то такий шлях можна ефективно застосовувати для розв’язування систем лінійних рівнянь.

Розглянемо простий ітераційний метод такого виравлення наближеної оберненої матриці.

Нехай маємо деяку наближену матрицю . Виправимо її методом ітерації.

Мірою похибки певної матриці , оберненої до матриці , може бути

Якщо , то .

Будуватимемо послідовні наближення за формулою

,

де

Метод мінімізації суми квадратів нев’язок (відхилень). Суть методу мінімізації суми квадратів нев’язок у застосуванні до лінійної системи рівнянь полягає у тому, що вектор знаходять за допомогою мінімізації функції

(4.254)

де матриця-рядок, що дорівнює -му рядкові матриці .

Метод релаксації. Для застосування методу релаксації рівняння (4.135) записують у вигляді

(4.257)

Якщо підставити в (4.257) деяке наближення багатовимірного вектора , то дістанемо певне значення нев’язки . Очевидно, щоб нев’язка деякого -го рівняння системи (4.257) дорівнювала нулеві, потрібно дати приріст невідомій , який дорівнює - , тобто

(4.258)

Збіжність методу релаксації перевіряється звичайно шляхом спроби обчислення декількох кроків наближень.