20. Наближене інтегрування функцій

На практиці у багатьох випадках інтегрування функцій у наслідок його складності пов’язане зі значними труднощами, а в окремих випадках нездійсниме, оскільки не існує аналітичного розв’язання задачі такого інтегрування. Крім цього, дуже часто підінтегральна функція задається таблицею або графічно і тоді взагалі питання аналітичного інтегрування відпадає. Перелічені задачі можна розв’язати тільки наближеними аналітичними та чисельними методами інтегрування.

Серед наближених аналітичних методів найширше застосовуються метод інтегрування за допомогою рядів, відомих з курсу математичного аналізу. Аналітично інтегруються також апроксимуючі функції.

Задача чисельного інтегрування полягає в обчисленні значення означеного інтегралу на основі множини значень підінтегральної функції. Чисельне визначення однократного інтеграла називають механічною квадратурою, подвійного – механічною кубатурою. Відповідні формули називають квадратурними та кубатурними. У задачах електроенергетики, як правило, маємо справу з квадратурними формулами.

Під час механічної квадратури підінтегральну функцію на заданому інтегралі заміняють інтерполяційною або апроксимуючою функцією простого вигляду – найчастіше поліномом. Далі інтегрують функцію , яку слід вибирати такою, щоб її інтегрування не становило труднощів.

Припустимо, що задана множина точок в інтервалі функції . На основі множини точок будуємо поліном Лагранжа (4.72).

Інтеграл функції можна записати

. (4.87)

Підставивши в (4.87) вираз (4.72), знаходимо наближену квадратичну формулу

, (4.88)

де

. (4.89)

Коли границі інтегрування – вузли інтерполяції, то (4.88) називається квадратурною формулою замкнутого типу, в супротивному випадку – розімкнутого.

Коефіцієнти при такому розташуванні вузлів не залежать від вибору функції . Для полінома степеня формула (4.88) – точна, оскільки тоді , тобто остаточний член .

21. Розв’язування алгебричних і трансцендентних координатних рівнянь однієї змінної чисельними методами

Загальний вигляд рівнянь відповідає (4.106). Тут функція й аргумент є одновимірними величинами. Причому функція визначена й неперервна в деякому обмеженому чи необмеженому інтервалі . Вважатимемо, що вона має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня можна виділити окіл, у якому існує тільки даний корінь.

Як було сказано вище, застосування чисельних методів знаходження коренів рівнянь пов’язане зі знаходженням їхніх нульових наближень. Для цієї задачі, якщо мова йде про дійсні корені, найпростіше скористатися графічним методом: побудувати криву і знайти її точки перетину з віссю абсцис, які й визначають нульові наближення дійсних коренів рівняння. Якщо ж рівняння можна записати у вигляді

, (4.107)

то звичайно доцільніше побудувати дві криві – відповідно та і визначити абсциси їх точок перетину як нульові наближення коренів, що звичайно вимагає меншого обсягу роботи.

Коли маємо деякий інтервал й , тобто функція при переході від до змінює знак, то вона щонайменше один раз перетинає вісь абсцис і, отже, в інтервалі є щонайменше один дійсний корінь рівняння. Якщо інтервал настільки малий, що на ньому лежить тільки один корінь, то він – інтервал ізоляції кореня. Визначення найтіснішого проміжку , в межах якого міститься один і тільки один корінь рівняння, називають ізоляцією чи відділенням кореня.

Під час відділення коренів користуються відомою теоремою, що корінь рівняння в інтервалі буде єдиним, коли похідна існує та зберігає постійний знак у середині інтервалу і при цьому .

Очевидно, для алгебричного рівняння -го степеня може бути не більше коренів. Тому, коли одержуємо перемін знака, то всі корені рівняння відділені.

Приклад 4.2. Відділити дійсні корені рівняння

тут

; при ; ; ; .

Отже, рівняння має тільки два дійсних корені, які лежать в інтервалі і .

Метод половинного ділення. Цей метод характеризується найпростішим алгоритмом обчислення дійсних коренів алгебричних і трансцендентних рівнянь. Для знаходження за цим методом кореня рівняння , відділеного проміжку , проміжок ділять навпіл. Якщо , то є коренем рівняння. У протилежному разі вибирають половину проміжку чи , на кінцях якого функція має протилежні знаки. Новий проміжок знову ділять наполовину багаторазово повторюють всі операції спочатку. В результаті на певному етапі дістаємо або точний корінь рівняння, або послідовність вкладених один в одного інтервалів , для яких . Очевидно, і в процесі послідовного ділення та наближаються одне до одного, а отже, . Процес послідовних наближень завжди збіжний, оскільки завжди існує наведена границя. Однак швидкість збіжності невелика й для осягнення високої точності необхідно виконати багато кроків обчислень.

Метод простої інтеграції (лат. iteratio – повторення). Часто його ще називають методом послідовних наближень. Зведемо рівняння (4.106) до явної (нормальної) форми

, (4.110)

і підставимо його в праву частину значення нульового наближення деякого кореня рівняння. Одержуємо нове значення невідомої . Далі в (4.110) підставимо , матимемо і т. д.; тобто у загальному випадку

. (4.111)

Якщо ця послідовність наближень збіжна – прямує до певного стабільного значення, то її границя відповідає значенню даного кореня рівняння. Отже, , чи .