59.Чисельні методи розв'язування задач нелінійного програмування.

У задачах електроенергетики системи скінченних рівнянь переважно нелінійні. Їх загальний вираз у векторній формі можна записати

(4.261)

Найефективніші та найширше вживані методи розв’язування таких систем рівнянь:

• Метод простої ітерації

• Метод ітерації Зайделя

• Метод найшвидшого спуску

• Метод Ньютона

• Метод мінімізації суми квадратів нев'язок (відхилень).

• Метод мінімізації суми модулів нев'язок (відхилень).

• Метод диференціювання по параметру

• Метод продовження по параметру

Метод продовження по параметру. Цей метод перекликається з методом диференціювання по параметру з погляду введення в розв'язуване рівняння деякого параметра , тобто аналогічно (4.290) . Параметр тут вибирається з тих же умов, що й у методі диференціювання по параметру. Тобто при має витримуватися співвідношення , а при рівняння повинно розв'язуватися порівняно просто.

Суть методу продовження по параметру полягає в наступному. Припустимо, що відомий деякий вектор-корінь рівняння. Поділивши відрізок для всіх компонентів вектора на декілька інтервалів, розв'язують послідовно систему рівнянь

(4.297)

Параметр визначається шириною інтервалів. На кожному новому інтервалі за приймається , обчислене на попередньому інтервалі.

Рівняння (4.297) збіжне, якщо відрізок належить області множини розв'язань рівняння , тобто коли множина опукла. Якщо множина не опукла, то потрібно вибирати інше нульове наближення. Отже, збіжність з довільного нульового значення тут не забезпечується. Ітерація за (4.297) відповідає переміщенню в просторі координат вектора х по прямих відрізків .

Розроблені ефективніші модифікації методу продовження по параметру, в яких такий рух здійснюється по деякій кривій у багатовимірному просторі. Для такого випадку застосовують канонічну формулу методу продовження по параметру у вигляді

(4.298)

Її доцільно звести до вигляду, аналогічного (4.285), а саме:

(4.299)

(4.300)

Параметр визначається за -нормами зі співвідношень

(4.301)

(4.302)

При наведена модифікація методу продовження по параметру збігається з методом Ньютона. Звичайно після 2-3 кроків обчислень метод продовження по параметру переходить у метод Ньютона. Додатковий час на обчислення параметра на кроці становить не більше 10...20 % відповідного часу в методі Ньютона. Застосовують також простіший, хоча й менш ефективний спосіб обчислення параметра . Якщо вектор нев'язок то приймають . В іншому випадку ділять на два (починаючи від ).

Як показали дослідження, наведена модифікація методу продовження по параметру завжди збігається, якщо, починаючи від нульового наближення, на кожному кропі ітерації матриця Якобі не стає особливою. Матриця Якобі звичайно стає особливою в точках нестійкого розв'язання системи рівнянь, що відповідає нестійкій рівновазі описуваної фізичної системи. З огляду на це можна вважати, що математичні моделі в методі продовження по параметру адекватні, як, зрештою, і в методі диференціювання по параметру.

Вектор утворює гострий кут з градієнтом функції . Таким чином, метод продовження по параметру є фактично одною з модифікацій градієнтних методів, що випливає з указаної властивості добутку названих векторів, які визначають другий член формули (4.298.)