12. Перетворення рівнянь багатополюсників.

Крім полюсних струмів і напруг сторін багатополюсника широ­ко використовують його контурні струми та вузлові напруги, які по­казані на схемі рис. 3.3. Тут за базовий прийнято вузол . Очевидно, що кількість лінійно незалежних контурних струмів, як і незалежних вузлових напруг багатополюсника, становить .

Між напругами сторін і вузловими напругами схеми рис. 3.3 мож­на записати такі зв'язки:

або

(3.15)

де матриця перетворення

(3.16)

Між полюсниками та контурними струма­ми, як видно з рис. 3.3, наявні такі взаємо­залежності:

Рис. 3.3

або

(3.17)

Співвідношення (3.15) та (3.17) дають змогу переходити від вузлових до контурних величин як струмів, так і напруг, і навпаки.

З (3.15) знаходимо

(3.18)

де

(3.19)

З (3.17) визначаємо

(3.20)

На основі одержаних співвідношень між напругами та струмами багатополюсника здійснюється перетворення його рівнянь із однієї системи координат в іншу.

Наприклад, на основі (3.15) і (3.6) дістаємо рівняння у вузлових напругах з матрицею вузлових імпедансів

(3.21)

З рівнянь (3.17) і (3.6) записуємо рівняння в контурних струмах

.

(3.22)

Дуже важливою є форма рівняння багатополюсника у вузлових напругах, його можна аамет из (3.12) підставленням (3.15), а ааме:

чи

(3.23)

Порівнюючи (3.21) з (3.23), бачимо, що

У теорії електроенергетичних мереж дуже часто у рівнянні (3.23) вектор-стовпець подають з протилежним знаком і записують його у формі рівняння вузлових напруг:

(3.24)

Очевидно, в цьому випадку вираз у (3.11) має вигляд

(3.25)

Формально для багатополюсника з 5 полюсами кількість різних форм його рівнянь визначається числом можливих комбінацій з не­залежних струмів і напруг по , тобто

Наприклад, при ця кількість становить 924. Правда, не всі вони існують, оскільки при деяких перетвореннях виникають особливі матриці.

Очевидно, ту чи іншу форму рівняння багатополюсника можна одер­жати безпосередньо зі схеми подібно, як це зроблено вище під час виведення на основі методів незалежних координат. У випадку аналі­зу ЕЕС переважно користуються методом вузлових напруг.

13. Розрахунок електричних кіл з багатополюсниками. Метод підсхем

У задачах електроенергетики методи аналізу електричних кіл з багатополюсниками звичайно застосовують під час аналізу режимів ЕЕС на основі розбиття їх на підсистеми (підсхеми) — багатополюсники. Ці методи використовують, очевидно, й тоді, коли окремі елемен­ти схеми задані у вигляді багатополюсників і двополюсників.

Припустимо, що маємо схему, складену з багатополюсників і двополюсників, граф якої показаний на рис. 3.5, а. Нехай рівняння багатополюсників записані у вузлових напругах при базовому вузлі, що збігається з вузлом багатополюсника .

На основі рівняння багатополюсника його можна зобразити пов­ною схемою, тобто такою, в якій всі полюси сполучені між собою вітками з адмітансами, що дорівнюють відповідним взаємним адмітансам матриці адмітансів багатополюсника, а суми адмітансів віток, що сходяться у полюсах, дорівнюють відповідним власним адмітансам цієї матриці. У вузлах (полюсах) багатополюсника увімкнені джерела струмів як компоненти вектора-стовпця . Двополюсники, що виступають у схемі (на рис. 3.5, а це ребра 2 і 4 між полюсами 2, 4 та 1,0 відповідно), задаються їхніми параметрами та джерелами ЕРС (на рис. 3.5, а це , та , ).

Рис. 3.5

Таким чином, розрахункові умови та схеми кіл з багатополюсниками формально нічим не відрізняються від таких для кіл, складених тільки з двополюсників; отже, тут справедливі й відповідні методи ана­лізу — законів Кірхгофа, вузлових напруг, контурних струмів тощо. Очевидно, самі топологічні матриці кіл повинні формуватися з враху­ванням особливостей схем багатополюсників.

Рівняння багатополюсників, з полюсами яких не збігається базова вершина схеми (на рис. 3.5, а — багатополюсник ), виступають у розширеному вигляді. Із канонічної форми розширене рівняння бага­тополюсника отримується шляхом дописування одного рядка та стовп­ця матриці адмітансів, а також додаткового компонента вектора джерел струмів, які відповідають базовій вершині описані багатополюсника. При цьому -й елемент описанного рядка чи стовпця матриці дорівнює сумі з оберненим знаком елементів -го рядка чи стовпця канонічної матриці, а дописаний компонент вектора джерела струмів — сумі компонентів з протилежним знаком канонічного вектора джерел стру­мів. Очевидно, розширене рівняння багатополюсника можна безпосе­редньо сформувати на основі його підсхеми, беручи за базову верши­ну таку, що не збігається з жодним полюсом багатополюсника. Роз­ширена матриця параметрів багатополюсника є особливою.

У випадку, коли потрібно зменшити кількість зовнішніх вузлових напруг чи контурних струмів рівняння багатополюсника, викори­стовують їх часткове виключення за відомим правилом. Для кіл висо­кої складності можна застосовувати багаторівневий метод підсхем, по­ступово знижуючи на кожному рівні порядок складності кола.

Метод діакоптики — аналіз кіл на основі розчленування матема­тичних моделей схем, реалізується аналогічно, як викладений метод підсхем, з такою різницею, що операції декомпозиції здійснюються на основі самих математичних моделей схеми.