30. Аналіз усталених режимів еес методом балансу потужностей

В основу методу покладена вектор функція балансу потужностей у незалежних вузлах системи. Вектором-аргументом тут звичайно приймають вектор напруг незалежних вузлів відносно нейтралі та їхніх аргументів. Математична модель стану ЕЕС у методі балансу потужностей найпростіше одержується шляхом перемноження моделі (4.312) зліва на матрицю а саме:

(4.335)

Для і-го вузла (4.335) має вигляд

; (4.336)

Якщо врахувати, що то після відповідних перетворень для випадку у дійсну площину модель (4.336) набирає вигляд

(4.337)

(4.338)

Для рівнянь (4.337), (4.338), записаних для всіх незалежних вузлів застосовують метод Ньютона чи продовження по параметру. У результаті одержимо робочу модель у методі балансу потужностей.

31. Лінійні диференційні рівняння з постійними коефіцієнтами.

Лінійне векторне диференційне рівняння першого порядку як окремий випадок рівняння

,

у загальному виразі запишемо

, (1)

де та - матриці постійних коефіцієнтів.

Для інтегрування цього рівняння в сенсі задачі Коші необхідно задати додаткові умови

. (2)

Розв’язання системи лінійних диференційних рівнянь з постійними коефіцієнтами за принципом накладання можна знаходити як суму деякого часткового розв’язання цієї системи та загального розв’язання однорідної системи рівнянь, одержаної з (1) шляхом при рівняння правої її частини до нуля (вимушу вальні сили дорівнюють нулеві):

. (3)

Розв’язання можна у загальному випадку знайти методом Лагранжа ( за допомогою квадратур методом варіації постійних). Коли права частина (1) – експоненційний, періодичний чи постійний вектор, то звичайно обчислюють методом підставлення. При цьому закон зміни відповідає законові зміни . В електротехніці розв’язання називають вимушеними складовими.

У задачах електроенергетики загальним законом зміни вимушувальних сил є експоненційний закон. Знайдемо для такого випадку зразу .

Нехай

. (4)

У лінійній системі експоненційна вимушу вальна сила викликає експоненційну вимушену складову

. (5)

Підставляючи (4) і (5) у (1), одержуємо

,

звідки

. (6)

Розв’язання (6) має місце, коли матриця неособлива, що буде тоді, коли не збігається з жодним коренем характеристичного рівняння цієї матриці. Якщо вектор вимушувальних сил (4) містить складові з різними показниками степеня, то для знаходження необхідно застосувати принцип накладання.

На практиці звичайно маємо до діла з постійними та синусоїдними вимушу вальними силами. Для першого випадку розв’язання визначається з (5) і (6), якщо прийняти , тобто

, (7)

де - багатовимірний вектор незалежних від аргумент вимушу вальних сил. Очевидно, розв’язання (7) відповідає (1) як скінченому, тобто .

У другому випадку при синусоїдних вимушу вальних силах можна знайти безпосереднім підставленням у рівняння (1) загального виразу розв’язання у вигляді синусоїдних функцій . Але такий спосіб призводить до громіздких виразів і в складних задачах неефективний. Ці труднощі легко усуваються, якщо замість синусоїдних вимушувальних сил скористатися їх відображенням за допомогою експонент.

Отже, задача визначення часткового розв’язання диференційного рівняння (1) – знаходження вимушених складових при експоненційних, постійних чи синусоїдних вимушу вальних силах зводиться у загальному випадку до розв’язання алгебричних рівнянь у вигляді (6), (7). Цей метод справедливий також для системи рівнянь чи окремих рівнянь вищого порядку, а також безпосередньо для інтегродиференційних рівнянь.

Якщо система диференційних рівнянь містить вищі похідні, чи у випадку одновимірного диференційного рівняння вищого порядку, на основі аналогічних міркувань, які ми наводили при викладі методик знаходження вимушених складових, можна прийти до висновку, що й визначення вільних складових здійснюватиметься також за алгоритмом обчислення вільних складових системи диференційних рівнянь першого порядку.

Викладений метод інтегрування диференційних рівнянь у сенсі задачі Коші називають класичним методом. Він загальний і дає змогу розв’язувати практично будь-які лінійні диференційні рівняння. Але у випадку високих порядків систем рівнянь метод дуже громіздкий.