49. Визначення статистичних законів розподілу випадкових величин. Визначення статистичних числових характеристик випадкових величин.
Для встановлення на основі статистичної інформації закону розподілу (функції розподілу, густини розподілу), чи перевірки експериментальної гіпотези, що випадкова величина підлягає тому чи іншому законові, необхідно здійснити відповідну обробку інформації.
Спостереження чи випробування досліджуваної випадкової величини спочатку реєструють у вигляді простого статистичного ряду, який записують у таблиці з позначенням номерів досліду й значення випадкової величини в цьому досліді. Приклад простого статистичного ряду наведений у табл. 7.3. Значення випадкової величини - відхилення у процентах напруги на шинах підстанції від її номінального значення. Символом позначено номер спостереження.
Простий
статистичний ряд є первинною
формою
статистичної
інформації,
і його можна обробляти різними способами.
Часто за простим статистичним рядом
будують статистичну
функцію розподілу
(якщо обсяг інформації порівняно
невеликий).
Для визначення статистичної функції розподілу при даному потрібно число дослідів, у яких величина набула значення, меншого від , розділити на загальне число здійснених дослідів.
Статистична функція розподілу дискретної чи неперервної величини є дискретною ступеневою функцією стрибки якої відповідають спостереженим значенням і за величиною дорівнюють частотам цих значень. Для неперервної випадкової величини в міру зростання числа дослідів крива поступово згладжується аж до плавної кривої
Зі
збільшенням числа
статистична функція розподілу
наближається (збігається з ймовірністю)
до дійсної функції розподілу
випадкової величини.
Якщо обсяг інформації великий, то побудова наведеним способом дуже ускладнюється. Крім цього, в такому випадку буває зручніше користуватися іншими
Статистичний
ряд є основою для розрахунку та побудови
гістограми,
значення якої дорівнюють
даного інтервалу, поділеній на його
ширину. Для нашого прикладу обчислення
гістограми наведено в табл. 7.6.
Визначення статистичних числових характеристик випадкових величин
Якщо маємо простий статистичний ряд спостережень над випадковою величиною , то статистичне математичне сподівання цієї величини визнається за очевидною формулою
|
, (7.54)
де
- спостережене значення;
- число випробувань.
При
необмеженому зростанні
ця величина прямує до дійсного
математичного сподівання
.
Статистична дисперсія випадкової величини
|
(7.55)
прямує
до дійсного значення дисперсії
при необмеженому збільшенні
.
Але користуватися останньою формулою
практично неможливо, тому що величина
справжнього значення математичного
сподівання
зі спостережень не відома. Якщо замінити
у (7.55)
відомою величиною статистичного
математичного сподівання
,
то, як це доведено, при збільшенні числа
випробувань
величина
прямує не до
,
а до величини
.
Отже, статистична дисперсія
|
. (7.56)
Очевидно, що статистичне стандартне відхилення
|
. (7.57)
Міркуючи
так само, як у попередньому випадку, для
статистичного
моменту
й коефіцієнта
кореляції
двох взаємозалежних випадкових величини
та
дістаємо
|
(7.58)
. (7.59)
Коли обсяг статистичної інформації великий, то обчислення статистичних характеристик за наведеними формулами (7.54) – (7.59) стає надмірно громіздким. У такому випадку слід скласти таблицю статистичного ряду й вважати наближено значення випадкової величини в кожному інтервалі постійним і рівним середньому значенню від значень