- •1. Основні поняття та визначення елементів теорії множин.
- •2.Співвідношення між множинами. Операції над множинами
- •3. Відображення
- •4. Структурні елементи та фізичні величини електричного кола
- •5.Основні рівняння електричного кола аналіз електричного кола на базі його основних рівнянь. А також вузлових і контурних рівнянь
- •6. Метод незалежних струмів. Метод контурних струмів
- •7. Метод незалежних напруг. Метод вузлових напруг. Метод міжвузлових напруг. Метод координат віток
- •8. Метод визначальних координат
- •9. Матриці вхідних і взаємних адмітансів, коефіцієнтів розподілу, матриці вузлових і умовних вузлових імпедансів.
- •10. Перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну
- •11.Основні рівняння багатополюсників.
- •12. Перетворення рівнянь багатополюсників.
- •13. Розрахунок електричних кіл з багатополюсниками. Метод підсхем
- •Основні рівняння прохідних чотириполюсників
- •15.Перетворення схем, складених з прохідних чотириполюсників
- •16. Обчислення функцій. Похибки
- •17. Інтерполяція функцій
- •18. Апроксимація функцій
- •19.Наближене диференціювання функцій
- •20. Наближене інтегрування функцій
- •21. Розв’язування алгебричних і трансцендентних координатних рівнянь однієї змінної чисельними методами
- •22. Аналітичні методи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •23. Оптимізація аналітичних методів розв'язування систем скінченних рівнянь.
- •24. Методи упаковування розріджених матриць і векторів.
- •25.Власні значення та власні вектори матриць. Зумовленість матриці. Метод qr. Норми матриці та вектора
- •26.Чисельні методи розв’язування систем лінійних скінченних рівнянь
- •29. Математичні моделі аналізу усталених ежимів еес у методі контурних струмів
- •30. Аналіз усталених режимів еес методом балансу потужностей
- •31. Лінійні диференційні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •32. Однокрокові явні методи.
- •33.Однокрокові неявні методи
- •34. Багатокрокові явні методи.
- •35. Ітераційний метод визначення усталеного режиму електричного кола.
- •36. Лінеаризація нелінійних диференційних рівнянь. Розв’язування крайової задачі.
- •39. Заміна аргумента диференціальних рівнянь
- •40. Методи декомпозиції
- •41. Узагальнений аналітичний метод розв’язування лінійних диференційно-скінченних рівнянь
- •42. Основи теорії стійкості режимів енергетичних систем
- •43. Алгебричні критерії стійкості. Частотні критерії стійкості.
- •44. Виділення областей стійкості. Спосіб d-розбиття. Аналіз динамічної стійкості режиму енергетичних систем.
- •45. Основні теореми ймовірностей, формули повної ймовірності, Бейєса (теорема гіпотез) і повторення дослідів
- •46. Випадкові величини в електроенергетиці
- •49. Визначення статистичних законів розподілу випадкових величин. Визначення статистичних числових характеристик випадкових величин.
- •50. Вирівнювання статистичних законів розподілу. Перевірка правильності гіпотез. Точкові оцінки. Довірчий інтервал. Довірча ймовірність
- •51. Основні положення теорії випадкових функцій.
- •52. Поняття про стаціонарний випадковий процес. Елементи теорії інформації
- •53. Метод монте-карло в задачах електроенергетики
- •54. Математичні основи теорії надійності
- •57. Деякі задачі лінійного програмування eec
- •58. Лінеаризація задачі опуклого програмування. Теорема Куна-Танкера. Умови Куна-Таккера
- •59.Чисельні методи розв'язування задач нелінійного програмування.
- •60. Динамічне програмування.
32. Однокрокові явні методи.
Ці методи прямо чи посередньо грунтуються на розкладанні інтегральної вектор-функції у ряд Тейлора, на основі якого інтегральна вектор-функція рівняння у точці при обчислюється за відомою інтегральною вектор-функцією та її похідними у цій же точці , а саме:
(1) . |
Обмежуючися скінченним (відсіченим) рядом при верхній границі
m=p і заміняючи наближеним , на основі (1) одержуємо наближене значення інтегральної вектор-функції у точці
|
(2) |
Враховуючи, що згідно з , останнє співвідношення записуємо
|
(3) |
Формула (2) є загальною формулою однокрокових чисельних методів інтегрування диференційних рівнянь. Величину р, яка визначає порядок найвищого члена ряду Тейлора, що враховується в (3), називають порядком методу. При і ця формула забезпечує безпосереднє обчислення послідовних значень за значенням . Однак при виникають труднощі обчислення повних похідних функції , аналогічно як у наближеному аналітичному методі інтегрування диференційних рівнянь за допомогою степеневих рядів. Тому при звичайно застосовується апроксимація функції так, щоб вона якомога ближче відповідала функції і не містила похідних від функції .
Метод Ейлера. При за формулою (2) з врахуванням (3) одержуємо формулу явного однокрокового методу першого порядку, запропонованого Ейлером
|
(4) |
з початковою умовою
|
(5) |
Для одновимірного рівняння
|
(6) |
з початковою умовою
|
(7) |
формула (4) набирає вигляду
|
(8) |
Метод Ейлера — Коші (метод трапецій). Метод Ейлера має низьку точність, тобто характеризується великою загальною (глобальною) похибкою. Це зумовлене, по-перше, локальною похибкою інтегральної функції на окремих кроках обчислень й, по-друге, нагромадженням (кумуляцією) похибки від кроку до кроку.
Існує кілька модифікацій уточнень методу Ейлера. Сюди належать: удосконалений метод ламаних, метод Ейлера—Коші (метод' трапецій), метод Ейлера—Коші з ітерацією.
Найефективнішим з удосконалених методів є метод Ейлера—Коші, особливо з ітерацією.
У цьому методі на -му кроці спочатку визначається наближення як у методі Ейлера
|
(9) |
за яким обчислюється приріст
|
(10) |
Значення інтегральної функції -го кроку обчислюється як сума — функції попереднього кроку плюс середнє значення від приросту попереднього й даного кроків, тобто
|
(11) |
Метод Ейлера—Коші є, по суті, методом другого порядку.
Метод Рунге—Кутта. Цей метод — один з найефективніших чисельних методів аналізу. Розроблено цілий ряд його модифікацій (версій). Всі вони грунтуються на побудові функції (3), що не містить похідних від правої частини рівняння якомога близької до функції в (1). Покажемо таку побудову стосовно найпростішої версії методу Рунге — Кутта — методу другого порядку. Припустимо, що
|
(12) |
де , , , — деякі постійні, що підлягають визначенню.
Серед методів Рунге — Кутта вищих порядків одним з найефективніших є метод четвертого порядку, робочі формули якого мають вигляд
|
(13) |
|
(14) |
де
|
(15) |
Метод Кутта — Джілла. Джілл одержав формули четвертого порядку, які відзначаються простотою коефіцієнтів, що забезпечують формування компактних програм. Тут обчислення всіх коефіцієнтів здійснюється в одному циклі програми. Інших переваг метод не має.
Метод Кутта — Мерсона. Всі наведені формули однокрокових методів не забезпечують безпосереднього обчислення похибки. Для її оцінки й вибору інтегрування необхідно застосовувати подвійне перечислення з кроком h і 2h, або здійснювати чисельне диференціювання інтегральної функції. В обох випадках витрачається чималий додатковий машинний час.
Мерсон запропонував модифікацію методу Рунге — Кутта, яка забезпечує безпосередню оцінку локальної похибки й на цій основі оп-тимізацію кроку інтегрування. Робоча формула методу Кутта — Мерсона має вигляд
|
(16) |
Метод Кутта — Мерсона вимагає п'ятиразового обчислення правих частин диференційних рівнянь, однак за рахунок простої оптимізації кроку на основі загальні витрати часу звичайно менші, ніж в основній версії методу Рунге – Кутта. Але метод Кутта - Мерсона для нелінійних і трансцендентних рівнянь має більшу локальну похибку, ніж основний метод. Вона може досягати значення, пропорційного .