33.Однокрокові неявні методи

(5.86)

оскільки невідома входить у функцію . Цю функцію записуємо

(5.87)

Формула (5.86) є загальною формулою однокрокових неявних чисельних методів інтегрування диференційних рівнянь.

Невідома обчислюється з (5.86) як з неявного скінченного рівняння. Останнє зручно записати у вигляді.

(5.88)

У випадку лінійної вектор-функції , що має місце при лінійній системі диференційних рівнянь, знаходиться з (5.88) аналітичним методом (звичайно методом Гаусса). При нелінійній системі диференідійних рівнянь система (5.88) нелінійна й вектор-функція визначається чисельними методами розв'язування скінченних рівнянь. Для цього необхідно застосовувати метод Ньютона чи в крайньому випадку - модифікований метод Ньютона. Річ у тому, що, як покажемо далі, неявні методи економічні тільки для рівнянь з погано зумовленою матрицею Якобі, а в такому випадку простіші ітераційні методи практично неефективні.

Метод Ейлера. При за формулою (5.86) з врахуванням (5.87) одержуємо формулу неявного методу Ейлера

чи згідно з (5.88)

(5.88)

Застосовуючи до (5.89) метод Ньютона, на -му кроці ітерації дістаємо

(5.90) (5.91)

де

(5.92) (5.93)

Для здійснення ітерації за (5.90) на кожному кроці необхідно мати нульове наближення . Воно звичайно обчислюється на основі явної формули Ейлера або за екстраполяційною формулою

(5.94)

де - значення кроків інтегрування відповідно на -му та -му інтервалах.

Формула (5.94) неефективна на старті інтегрування, тобто при оскільки тут відома лише умова Коші а використання якщо навіть його маємо, в загальному випадку некоректне, бо в точці (точка збурення стану системи) інтегральна вектор-функція має розрив і формула чисельного інтегрування неправомірна. Якщо такі точки появляються при то до них необхідно підходити зліва з якомога точнішим попаданням у точку розриву, а після неї інтегрування починається знову - ніби з нової умови Коші.

Метод Ейлера - Коші (метод трапецій). Його робоча формула виводиться з формули (5.68) явного методу Ейлера - Коші підставленням замість прогнозованого дійсного значення вектора-функції а сааме

(5.96)

Застосовуючи до (5.96) метод Ньютона, одержуємо

(5.97)

(5.98)

де

(5.99)

Матриця Якобі визначається за (5.92). Можна показати, що для лінійного рівняння метод Ейлера - Коші абсолютно стійкий для будь-якого кроку . Ітерація за (5.97), (5.98) ведеться так само, як у випадку неявного методу Ейлера. Гранична локальна похибка методу Ейлера - Коші пропорційна . Отже, метод значно точніший методу Ейлера, але тут на кожному кроці ітерації права частина рівняння обчислюється двічі, як це видно з (5.99).

Ефективність однокрокових методів. Явні однокрокові методи характеризуються найпростішими з погляду програмної реалізації алгоритмами, що зокрема, пов'язане з відсутністю стартових обчислень, як це наприклад, має місце в неявних, де необхідно на кожному кроці заздалегідь обчислювати нульове наближення інтегральної функції.

Основні недоліки однокрокових методів - відсутність прямої оцінки точності на кроці інтегрування (оцінка локальної похибки), за окремими винятками, наприклад методу Кутта - Мерсона, а також необхідність багаторазових обчислень правої частини – пропорційно порядку, тобто точності методу.