- •1. Основні поняття та визначення елементів теорії множин.
- •2.Співвідношення між множинами. Операції над множинами
- •3. Відображення
- •4. Структурні елементи та фізичні величини електричного кола
- •5.Основні рівняння електричного кола аналіз електричного кола на базі його основних рівнянь. А також вузлових і контурних рівнянь
- •6. Метод незалежних струмів. Метод контурних струмів
- •7. Метод незалежних напруг. Метод вузлових напруг. Метод міжвузлових напруг. Метод координат віток
- •8. Метод визначальних координат
- •9. Матриці вхідних і взаємних адмітансів, коефіцієнтів розподілу, матриці вузлових і умовних вузлових імпедансів.
- •10. Перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну
- •11.Основні рівняння багатополюсників.
- •12. Перетворення рівнянь багатополюсників.
- •13. Розрахунок електричних кіл з багатополюсниками. Метод підсхем
- •Основні рівняння прохідних чотириполюсників
- •15.Перетворення схем, складених з прохідних чотириполюсників
- •16. Обчислення функцій. Похибки
- •17. Інтерполяція функцій
- •18. Апроксимація функцій
- •19.Наближене диференціювання функцій
- •20. Наближене інтегрування функцій
- •21. Розв’язування алгебричних і трансцендентних координатних рівнянь однієї змінної чисельними методами
- •22. Аналітичні методи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •23. Оптимізація аналітичних методів розв'язування систем скінченних рівнянь.
- •24. Методи упаковування розріджених матриць і векторів.
- •25.Власні значення та власні вектори матриць. Зумовленість матриці. Метод qr. Норми матриці та вектора
- •26.Чисельні методи розв’язування систем лінійних скінченних рівнянь
- •29. Математичні моделі аналізу усталених ежимів еес у методі контурних струмів
- •30. Аналіз усталених режимів еес методом балансу потужностей
- •31. Лінійні диференційні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •32. Однокрокові явні методи.
- •33.Однокрокові неявні методи
- •34. Багатокрокові явні методи.
- •35. Ітераційний метод визначення усталеного режиму електричного кола.
- •36. Лінеаризація нелінійних диференційних рівнянь. Розв’язування крайової задачі.
- •39. Заміна аргумента диференціальних рівнянь
- •40. Методи декомпозиції
- •41. Узагальнений аналітичний метод розв’язування лінійних диференційно-скінченних рівнянь
- •42. Основи теорії стійкості режимів енергетичних систем
- •43. Алгебричні критерії стійкості. Частотні критерії стійкості.
- •44. Виділення областей стійкості. Спосіб d-розбиття. Аналіз динамічної стійкості режиму енергетичних систем.
- •45. Основні теореми ймовірностей, формули повної ймовірності, Бейєса (теорема гіпотез) і повторення дослідів
- •46. Випадкові величини в електроенергетиці
- •49. Визначення статистичних законів розподілу випадкових величин. Визначення статистичних числових характеристик випадкових величин.
- •50. Вирівнювання статистичних законів розподілу. Перевірка правильності гіпотез. Точкові оцінки. Довірчий інтервал. Довірча ймовірність
- •51. Основні положення теорії випадкових функцій.
- •52. Поняття про стаціонарний випадковий процес. Елементи теорії інформації
- •53. Метод монте-карло в задачах електроенергетики
- •54. Математичні основи теорії надійності
- •57. Деякі задачі лінійного програмування eec
- •58. Лінеаризація задачі опуклого програмування. Теорема Куна-Танкера. Умови Куна-Таккера
- •59.Чисельні методи розв'язування задач нелінійного програмування.
- •60. Динамічне програмування.
22. Аналітичні методи розв’язування систем лінійних рівнянь
У випадку лінійної системи рівнянь вектор-функція (4.104) набирає вигляду
, (4.133) |
або
, (4.134) |
чи в розгорненій формі
. (4.135) |
Якщо матриця неособлива, тобто то рівняння (4.134) має єдине розв’язання, а саме:
, (4.136) |
де обернена матриця
. (4.137) |
У (4.137) матриця
, (4.138) |
в якій - алгебричні доповнення елементів транспонованої матриці коефіцієнтів рівняння (4.135).
При високих порядках рівняння (4.134) пряме знаходження оберненої матриці вимагає виконання великого обсягу обчислень з необхідністю визначення у загальному випадку алгебричних доповнень.
Шляхом простих перетворень (4.136) одержуємо розв’язання (4.135) у вигляді відомого алгоритму Крамера, згідно з яким вектор-стовпець невідомих
, (4.139) |
де
, (4.140) |
що одержується з матриці коефіцієнтів шляхом заміни її го стовпця вектором-стовпцем вільних членів
У формулі (4.139) здійснюється разове розкриття детермінанта вигляду (4.140) матриці - го порядку, тоді як у (4.137) разів розкриваються детермінанти матриці - го порядку. Оскільки під час розкриття детермінанта го порядку виконується стільки ж операцій, що й під час розкриття детермінантів го порядку, то з погляду обсягу обчислень формули (4.137) і (4.139) рівноцінні й дуже трудомісткі. На практиці широко застосовують прямі методи розв’язування рівняння (4.135) – метод Гаусса, метод квадратичних коренів, метод Халецького й інші.
Скінченні рівняння в задачах електроенергетики, як це було показано у третьому розіділі, звичайно характеризуються високою розрідженістю матриць коефіцієнтів. Кількість ненуьових елементів (НЕ) у них дуже мала. Коефіцієнт заповненя
, (4.141) |
де - кількість НЕ; - вимірність матриці, для вказаних матриць особливо при їхніх високих вимірностях дуже низький. Наприклад, для матриці вузлових адмітансів де кількість НЕ можна визначити за формулою в якій - середня кількість НЕ в рядку матриці. Отже, Максимальне значення відповідає повній планарній схемі електро-енергетичної мережі і становить =5 (один НЕ, що відповідає власному адмітансові вузла, та чотири НЕ – взаємні адмітанси). Отже, при вузлів , а при вузлах
23. Оптимізація аналітичних методів розв'язування систем скінченних рівнянь.
Серед аналітичних методів розв'язування систем скінченних рівнянь найефективніший метод послідовних виключень - метод Гаусса з триангуляцією та подвійною факторизацією матриць. З цього погляду вирішальне значення має вибір порядку (впорядкування) виключення невідомих, мета якого - забезпечення високої точності обчислень, збереження високої розрідженості матриці та виконання якомога меншої кількості арифметичних і логічних операцій. Правила вибору порядку виключення невідомих, які забезпечують появу мінімальної кількості ННЕ, називають критеріями оптимальної нумерації. Одним з найефективніших є критерій Марковіца, згідно з яким для чергового виключення вибирається та невідома, індекси коефіцієнта матриці якої та задовольняють умову де - нова кількість HHE, що можуть появитися під час виключення невідомої з індексам , ; , - кількість НЕ в рядку та стовпці матриці відповідно (без врахування -го елемента).
На практиці застосовують дві групи методів квазіоптимального впорядкування послідовності виключення - методи попереднього впорядкування, в яких послідовність виключення встановлюється заздалегідь, і методи динамічного впорядкування, де вона визначається в процесі виключення.
До методів попереднього впорядкування відносяться метод мінімізації кількості НЕ рядка і стовпця, що відповідають головному елементові, та метод обрамування діагоналі.
Він базується безпосередньо на критерію Марковіца. Практична його реалізація зводиться до впорядкування рівнянь системи, щоб забезпечити у першу чергу виключення тих невідомих, які зв'язані з найменшою кількістю інших невідомих. Метод обрамування діагоналі полягає в згрупуванні елементів матриці у вигляді вузької смуги-стрічки вздовж головної чи побічної діагоналі матриці. Матриці з таким згрупуванням елементів часто називають стрічковими. Вони відповідають графам такої ж структури.
Динамічне впорядкування полягає в оптимізації порядку виключення невідомих у процесі розв'язування рівняння. Такий підхід найефективніший, оскільки тут на кожному кроці обчислень можна вибрати наступний елемент виключення за критерієм оптимальності.
Серед таких методів у задачах електроенергетики застосовують метод динамічної мінімізації НЕ у рядках і стовпцях матриці та метод динамічної мінімізації ННЕ.
Метод динамічної мінімізації НЕ в рядках і стовпцях матриці формально збігається з відповідним методом попереднього впорядкування з тою різницею, що тут визначається мінімальна кількість НЕ, зв'язаних з елементом, який виключається на кожному кроці.