43. Алгебричні критерії стійкості. Частотні критерії стійкості.

АЛГЕБРИЧНІ КРИТЕРІЇ СТІЙКОСТІ

Такі критерії стійкості справедливі для випадку алгебричних характеристичних рівнянь

(1)

і є групою нерівностей, складених з коефіцієнтів цих рівнянь, при задовільненні яких рівняння відповідають стійкій системі у першому наближенні.

Необхідною умовою асимптотичної стійкості рівноваги системи, як це показано далі, є наявність усіх додатних дійсних коефіцієнтів рівняння (1). Це означає, що для нестійкості системи досить наявності в характеристичному рівнянні одного від'ємного коефіцієнта.

Необхідної умови не досить для збереження стійкості, потрібно, щоб задовольнялися ще й достатні умови. Серед алгебричних критеріїв стійкості ці вимоги формулює критерій Гурвіца або критерій Рауса.

Критерій Гурвіца складається за таким алгоритмом. З коефіцієнтів рівняння (1) формують квадратну -го порядку матрицю Гурвіца. за схемою (при )

1 2 3 4 …

(2)

в якій усі коефіцієнти з індексом, більшим від, замінені нулями. Критерій Гурвіца складається з п нерівностей, одержаних з матриці за правилом головних мінорів.

Необхідною умовою стійкості стану рівноваги є наявність усіх додатних коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Критерій Рауса звичайно ефективний при високих порядках характеристичних рівнянь. В основу визначення цього критерію покладено таблицю Рауса, складену з коефіцієнтів характеристичного рівняння (1) за наступним алгоритмом. У два перші зі загальної кількості рядків таблиці Рауса заносять відповідно парні та непарні коефіцієнти. Елементи наступних рядків записують за формулами

(3)

де — номер рядка; — номер стовпця. В елементах нульового стовпця таблиці записують коефіцієнти.

Необхідні та достатні умови стійкості стану рівноваги за Раусом (критерій Рауса) подають у формі нерівностей

(4)

У випадку коренів характеристичного рівняння на межі стійкості наведена форма алгоритму Рауса неефективна й вимагає певного перетворення.

ЧАСТОТНІ КРИТЕРІЇ СТІЙКОСТІ

Ці критерії грунтуються на побудові частотних характеристик характеристичних рівнянь.

Частотною характеристикою функції називається залежність, виражена цією функцією, коли замість у загальному випадку комплексного параметра підставити уявний параметр який може змінюватися у межах Наприклад, для характеристичного рівняння (1) частотна характеристика виражається

(5)

Годограф , побудований у комплексній площині, називають амплітудно-фазовою характеристикою функції; залежність – амплітудною чи амплітудно-частотною характеристикою функції; залежність — фазовою чи фазо-частотною характеристикою функції. Відповідно і — дійсна та уявна частотні характеристики функції.

Рівняння (5) запишемо

(6)

де корені характеристичного рівняння (1);

Для виведення одного з найчастіше застосовуваних частотних критеріїв — критерію Михайлова знайдемо, як змінюється аргумент комплексного множника при зміні від 0 до у випадку дійсних від'ємних і комплексно-спряжених з від'ємними дійсними частинами коренів

Критерій Михайлова стійкості стану рівноваги записується

(7)

де —повна зміна аргументу частотної характеристики (3) при зміні від 0 до

На практиці критерій Михайлова застосовують на основі графічної побудови чи табличного обчислення годографа, з якого визначають аргумент . Стійкість оцінюють шляхом порівняння аргументу з (7).