- •1. Основні поняття та визначення елементів теорії множин.
- •2.Співвідношення між множинами. Операції над множинами
- •3. Відображення
- •4. Структурні елементи та фізичні величини електричного кола
- •5.Основні рівняння електричного кола аналіз електричного кола на базі його основних рівнянь. А також вузлових і контурних рівнянь
- •6. Метод незалежних струмів. Метод контурних струмів
- •7. Метод незалежних напруг. Метод вузлових напруг. Метод міжвузлових напруг. Метод координат віток
- •8. Метод визначальних координат
- •9. Матриці вхідних і взаємних адмітансів, коефіцієнтів розподілу, матриці вузлових і умовних вузлових імпедансів.
- •10. Перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну
- •11.Основні рівняння багатополюсників.
- •12. Перетворення рівнянь багатополюсників.
- •13. Розрахунок електричних кіл з багатополюсниками. Метод підсхем
- •Основні рівняння прохідних чотириполюсників
- •15.Перетворення схем, складених з прохідних чотириполюсників
- •16. Обчислення функцій. Похибки
- •17. Інтерполяція функцій
- •18. Апроксимація функцій
- •19.Наближене диференціювання функцій
- •20. Наближене інтегрування функцій
- •21. Розв’язування алгебричних і трансцендентних координатних рівнянь однієї змінної чисельними методами
- •22. Аналітичні методи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •23. Оптимізація аналітичних методів розв'язування систем скінченних рівнянь.
- •24. Методи упаковування розріджених матриць і векторів.
- •25.Власні значення та власні вектори матриць. Зумовленість матриці. Метод qr. Норми матриці та вектора
- •26.Чисельні методи розв’язування систем лінійних скінченних рівнянь
- •29. Математичні моделі аналізу усталених ежимів еес у методі контурних струмів
- •30. Аналіз усталених режимів еес методом балансу потужностей
- •31. Лінійні диференційні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •32. Однокрокові явні методи.
- •33.Однокрокові неявні методи
- •34. Багатокрокові явні методи.
- •35. Ітераційний метод визначення усталеного режиму електричного кола.
- •36. Лінеаризація нелінійних диференційних рівнянь. Розв’язування крайової задачі.
- •39. Заміна аргумента диференціальних рівнянь
- •40. Методи декомпозиції
- •41. Узагальнений аналітичний метод розв’язування лінійних диференційно-скінченних рівнянь
- •42. Основи теорії стійкості режимів енергетичних систем
- •43. Алгебричні критерії стійкості. Частотні критерії стійкості.
- •44. Виділення областей стійкості. Спосіб d-розбиття. Аналіз динамічної стійкості режиму енергетичних систем.
- •45. Основні теореми ймовірностей, формули повної ймовірності, Бейєса (теорема гіпотез) і повторення дослідів
- •46. Випадкові величини в електроенергетиці
- •49. Визначення статистичних законів розподілу випадкових величин. Визначення статистичних числових характеристик випадкових величин.
- •50. Вирівнювання статистичних законів розподілу. Перевірка правильності гіпотез. Точкові оцінки. Довірчий інтервал. Довірча ймовірність
- •51. Основні положення теорії випадкових функцій.
- •52. Поняття про стаціонарний випадковий процес. Елементи теорії інформації
- •53. Метод монте-карло в задачах електроенергетики
- •54. Математичні основи теорії надійності
- •57. Деякі задачі лінійного програмування eec
- •58. Лінеаризація задачі опуклого програмування. Теорема Куна-Танкера. Умови Куна-Таккера
- •59.Чисельні методи розв'язування задач нелінійного програмування.
- •60. Динамічне програмування.
35. Ітераційний метод визначення усталеного режиму електричного кола.
Деякі загальні питання стійкості методів чисельного інтегрування.
Йдеться про визначення розв'язання векторного диференційного рівняння (5.1) у сенсі задачі Коші на часовому інтервалі усталення режиму .
Найпростіше (з алгоритмічного погляду) задача розв'язується шляхом прямого інтегрування рівняння (5.1) чи (5.2). Однак при поганій зумовленості матриці Якобі, особливо при високій осциляції перехідного процесу, такий метод неефективний у зв'язку з кумуляцією похибки інтегрування на тривалих часових інтервалах і його неекономічністю із-за великих витрат машинного часу. В такому випадку ефективним є розв'язування рівняння (5.1) чи (5.2) в сенсі крайової задачі з умовами періодичності.
Оскільки в загальному випадку перехідні процеси електричних кіл описуються диференційними та скінченними (диференційно-скінченними) рівняннями, розглянемо саме такий випадок, тобто систему
|
|
(5.146) |
де .Тут – вектор-стовпець струмів індуктивностей хорд, – вектор-стовпець напруг ємностей дерева графа з нормальним деревом (див. модель у координат стану); – вектор-стовпець резистивних струмів хорд і резистивних напруг ребер дерева.
Застосувавши до рівнянь (5.146) апроксимацію ФДН у формі (5.145), отримуємо векторне скінченне рівняння
|
|
|
де . На основі цього рівняння в методі Ньютона формуємо модель
|
|
|
|
|
(5.147) |
При періодичних вимушувальних силах одної частоти, що завжди має місце в EEC та їхніх підсистемах, інтегральна вектор-функція для усталеного режиму також періодична.
Необхідною і достатньою умовою того, що інтегральна вектор-функція відповідає усталеному режимові, є рівняння
|
|
|
де –значення інтегральної вектор-функції через період з моменту, який відповідає . Визначення з наведеного рівняння найпростіше здійснюється методом Ньютона за робочою формою
|
|
(5.148) |
де
|
|
|
Матрицю називають фундаментальною матрицею чи матрицею переходів.
Для визначення матриці сформуємо на основі вихідного векторного рівняння (5.146) матричне диференційне рівняння у варіаціях, а саме
|
|
|
де
|
|
|
|
|
(5.149) |
Як видно де – матриця проектування.
З метою зменшення обсягу обчислень доцільно рівняння (5.149) і рівняння (5.146) інтегрувати одним і тим же методом і з однаковим кроком. У цьому випадку основні матричні операції є необхідні під час інтегрування рівняння (5.149), виконуються при інтегруванні рівняння (5.146) і матриця визначається найекономічніше.
Застосуємо до матричного рівняння (5.149) дискретизацію на основі ФДН у формі (5.145), а саме
|
|
|
Як видно з отриманого рівняння та виразу матриці , матриця . Отже, з останнього рівняння знаходимо
|
|
|
Враховуючи наведений вище зв'язок між матрицями та , остаточно маємо
|
|
(5.150) |
Приклад 5.12. Визначити усталений режим, що виникає після увімкнення на ЕРС В кола послідовного сполучення котушки індуктивності з параметрами Ом і з паралельними елементами Ф, Ом.
Записуємо рівняння в методі контурних струмів
|
|
|
Отже, маємо стосовно до рівняння (5.146) Далі
|
|
|
|
|
|
За нульове наближення приймаємо На першій ітераціі маємо
|
|
|
|
|
|
На другій ітерації що практично збігається з точним розв'язанням.
Деякі загальні питання стійкості методів чисельного інтегрування
Під час оцінки стійкості методу Ейлера (явного та неявного) ми користуємося однорідним векторним диференційним рівнянням (5.56). Відповідне йому координатне рівняння, а саме рівняння де в загальному випадку називають модельним з погляду оцінки стійкості чисельних методів інтегрування. Стійкість останніх порівнюється зі стійкістю аналітичного розв'язання стосовно модельного рівняння. Це рівняння має одне власне значення, що дорівнює .
Під час розв'язування модельного рівняння чисельними методами воно перетворюється в скінченне з коефіцієнтами, які залежать від ( – крок інтегрування). Ліву частину характеристичного рівняння цього скінченного рівняння називають поліномом стійкості методу чисельного інтегрування. Наприклад, для неявного методу Ейлера скінченне модельне рівняння має вигляд та характеристичне рівняння . Корені характеристичного рівняння визначають стійкість чисельного методу. Аналітичне розв'язання модельного рівняння має загальний вигляд де – постійна інтегрування. За умови при у затухає, тобто . Звідси умова – чисельний метод стійкий при даному , якщо зі зростанням кількості кроків розв'язання модельного рівняння на його основі затухає. Ця умова відповідає абсолютній стійкості методу (див. п. 5.3.1). За визначенням метод абсолютно стійкий для даного , якщо при цьому всі корені полінома стійкості лежать усередині одиничного кола. Стійкість розв'язання модельного рівняння оцінюється в комплексній площині в координатах Областю абсолютної стійкості методу інтегрування в цій площині називають область, якщо метод абсолютно стійкий для всіх У випадку чисельне розв'язання модельного рівняння, подібно як і аналітичне його розв'язання, повинно зростати зі збільшенням числа кроків інтегрування. Якщо при цьому глобальна похибка чисельного інтегрування зростає не з більшою швидкістю, ніж аналітичне розв'язання, то метод називають відносно стійким.
Методи чисельного інтегрування диференційних рівнянь характеризуються різними видами (типами) стійкості. Однокрокові явні методи оцінюються абсолютною стійкістю. На рис. 5.6, а в комплексній площині показана область (заштрихована) абсолютної стійкості методу Рунге-Кутта 4-го порядку. Якщо область абсолютної стійкості обмежена в лівій півплощині комплексних , то метод називають обмежено стійким.