- •1. Основні поняття та визначення елементів теорії множин.
- •2.Співвідношення між множинами. Операції над множинами
- •3. Відображення
- •4. Структурні елементи та фізичні величини електричного кола
- •5.Основні рівняння електричного кола аналіз електричного кола на базі його основних рівнянь. А також вузлових і контурних рівнянь
- •6. Метод незалежних струмів. Метод контурних струмів
- •7. Метод незалежних напруг. Метод вузлових напруг. Метод міжвузлових напруг. Метод координат віток
- •8. Метод визначальних координат
- •9. Матриці вхідних і взаємних адмітансів, коефіцієнтів розподілу, матриці вузлових і умовних вузлових імпедансів.
- •10. Перетворення рівнянь з комплексної площини в дійсну
- •11.Основні рівняння багатополюсників.
- •12. Перетворення рівнянь багатополюсників.
- •13. Розрахунок електричних кіл з багатополюсниками. Метод підсхем
- •Основні рівняння прохідних чотириполюсників
- •15.Перетворення схем, складених з прохідних чотириполюсників
- •16. Обчислення функцій. Похибки
- •17. Інтерполяція функцій
- •18. Апроксимація функцій
- •19.Наближене диференціювання функцій
- •20. Наближене інтегрування функцій
- •21. Розв’язування алгебричних і трансцендентних координатних рівнянь однієї змінної чисельними методами
- •22. Аналітичні методи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •23. Оптимізація аналітичних методів розв'язування систем скінченних рівнянь.
- •24. Методи упаковування розріджених матриць і векторів.
- •25.Власні значення та власні вектори матриць. Зумовленість матриці. Метод qr. Норми матриці та вектора
- •26.Чисельні методи розв’язування систем лінійних скінченних рівнянь
- •29. Математичні моделі аналізу усталених ежимів еес у методі контурних струмів
- •30. Аналіз усталених режимів еес методом балансу потужностей
- •31. Лінійні диференційні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •32. Однокрокові явні методи.
- •33.Однокрокові неявні методи
- •34. Багатокрокові явні методи.
- •35. Ітераційний метод визначення усталеного режиму електричного кола.
- •36. Лінеаризація нелінійних диференційних рівнянь. Розв’язування крайової задачі.
- •39. Заміна аргумента диференціальних рівнянь
- •40. Методи декомпозиції
- •41. Узагальнений аналітичний метод розв’язування лінійних диференційно-скінченних рівнянь
- •42. Основи теорії стійкості режимів енергетичних систем
- •43. Алгебричні критерії стійкості. Частотні критерії стійкості.
- •44. Виділення областей стійкості. Спосіб d-розбиття. Аналіз динамічної стійкості режиму енергетичних систем.
- •45. Основні теореми ймовірностей, формули повної ймовірності, Бейєса (теорема гіпотез) і повторення дослідів
- •46. Випадкові величини в електроенергетиці
- •49. Визначення статистичних законів розподілу випадкових величин. Визначення статистичних числових характеристик випадкових величин.
- •50. Вирівнювання статистичних законів розподілу. Перевірка правильності гіпотез. Точкові оцінки. Довірчий інтервал. Довірча ймовірність
- •51. Основні положення теорії випадкових функцій.
- •52. Поняття про стаціонарний випадковий процес. Елементи теорії інформації
- •53. Метод монте-карло в задачах електроенергетики
- •54. Математичні основи теорії надійності
- •57. Деякі задачі лінійного програмування eec
- •58. Лінеаризація задачі опуклого програмування. Теорема Куна-Танкера. Умови Куна-Таккера
- •59.Чисельні методи розв'язування задач нелінійного програмування.
- •60. Динамічне програмування.
36. Лінеаризація нелінійних диференційних рівнянь. Розв’язування крайової задачі.
У деяких задачах електроенергетики, наприклад у випадку дослідження статичної стійкості режимів систем, виникає необхідність визначення координат при незначних збуреннях їхнього стану. Враховуючи, що в реальних умовах збурюючі сили мають незначні короткотривалі величини й при їх дії слід чекати невеликих відхилень координат від їхніх значень у момент збурення (за умови стійкості режиму), в межах зміни цих координат можна допустити лінійність їх причинно-наслідкових зв'язків, чи, точніше, здійснити лінійну апроксимацію останніх. Проводячи таку апроксимацію безпосередньо в нелінійних диференційних, рівняннях стану, одержуємо лінеаризовані рівняння. Лінеаризацію ведемо шляхом розкладання нелінійних залежностей координат у відсічений у лінійній частині степеневий ряд. При цьому звичайно переходимо від рівнянь для дійсних координат до рівнянь для їхніх відхилень від стану в момент збурення (так звані рівняння у відхиленнях), тобто переносимо початок координат системи в точку значень координат у момент збурення. Коефіцієнти при похідних координат, які в загальному випадку залежать від координат , у цих умовах приймаються незалежними від , точніше з фіксованими значеннями .
Нехай маємо лінійну систему диференційних рівнянь
|
|
(5.151) |
де – квадратна матриця -го порядку коефіцієнтів, які в загальному випадку залежать від інтенсивності процесів (від координат ); – деяка нелінійна функція координат; – багатовимірний вектор вимушувальних сил.
Очевидно, систему рівнянь (5.151) можна завжди звести до системи рівнянь першого порядку.
Розкладаючи в околі функцію у відсічений у лінійній частині ряд Тейлора й приймаючи, що при малих відхиленнях матриця коефіцієнтів є матрицею постійних коефіцієнтів, рівняння (5.151) наближено можна записати у вигляді лінеаризованого векторного рівняння
|
|
(5.152) |
Якщо застосувати перенесення початку координат у точку , рівняння (5.152) перетвориться у лінійне рівняння у відхиленнях, а саме:
|
|
(5.153) |
де – матриця Якобі функції у точці ; – - вимірний вектор-стовпець приростів (відхилень) вектора координат ; – зміна вектора вимушувальних сил, що може бути одною з причин збурення стану системи.
Приклад 5. 12. Здійснити лінеаризацію диференційного рівняння стану простого кола з нелінійним резистором і нелінійною індуктивністю, в якому при наступає збурення режиму внаслідок стрибкоподібної зміни постійної напруги від до Характеристики нелінійних елементів апроксимовані аналітично у вигляді залежностей
Рівняння стану кола можна записати , чи у вигляді системи рівнянь першого порядку
Систему лінеаризуемо згідно з (5.153)
|
|
|
де
|
|
|
Одержану систему рівнянь як лінійну можна просто розв'язати за допомогою класичного або операторного методу. її можна звести також до одного інтегродиференційного рівняння, якщо в перше рівняння замість підставити його вираз з другого рівняння у вигляді
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ
Як показано в параграфі 5.1, під час розв'язання крайової задачі інтегрування у загальному випадку системи нелінійних диференційних рівнянь
|
|
(5.154) |
знаходиться конкретне її розв'язання за додаткових умов
|
|
(5.155) |
які є певною системою скінченних нелінійних рівнянь.
Розв'язування крайової задачі здійснюється методами зведення до задачі Коші, скінченних різниць (наближені чисельні методи), колокації, Галеркіна–Бубнова, інтегральним методом найменших Квадратів і методом підобластей (наближені аналітичні методи). У задачах електроенергетики найчастіше застосовується метод скінченних різниць.
Суть його полягає в тому, що за рахунок апроксимації похідних відношенням скінченних різниць функції і аргументу диференційні рівняння зводяться до систем у загальному випадку нелінійних скінченних рівнянь. Цей метод, який часто називають методом сіток, завдяки своїй простоті набув широкого застосування не тільки при розв'язуванні звичайних, але й диференційних рівнянь у часткових похідних.
Нехай, наприклад, маємо нелінійне диференційне рівняння
|
|
(5.156) |
в крайовими умовами на границях інтервалу
|
|
(5.157) |
Очевидно, (5.156), (5.157) можна звести до системи вигляду (5.154), (5.155) за рахунок уведення нової змінної.
Розіб'ємо інтервал х на s рівних ділянок з кроком при відповідних значеннях
При застосуванні апроксимації похідних згідно з (4.68), (4.69) для похідних першого порядку та згідно з (4.70) для похідних другого порядку диференційне рівняння (5.156) з крайовими умовами (5.157) зводиться до системи лінійних скінченних рівнянь
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.158) |
………………………………………………………………………………………….
|
|
|
|
|
|
Яку можна записати як вектор-функцію
|
|
(5.159) |
де – вектор-стовпець невідомих; – матриця коефіцієнтів; – вектор-стовпець вільних координат.
Розв'язуючи систему (5.159) одним із викладених у попередньому розділі методів, дістаємо сукупність значень інтегральної кривої для заданих граничних умов. Тут прийнято розміщення точок скінченних різниць для першої похідної за схемою для другої похідної Можливі й інші схеми розміщення точок, як не показано в параграфі 4.4.
Для забезпечення вищої точності апроксимації похідних можна скористатися апроксимацією на основі інтерполяційних формул, зокрема Лагранжа. Як було подано в параграфі 4.4, найдоцільніші з цього погляду центральні формули. Однак, як показали дослідження, при такій апроксимації не гарантується чисельна стійкість розв'язання рівнянь. Крім цього, застосування інтерполяційних формул призводить до збільшення заповнення матриці коефіцієнтів рівняння (5.159), а отже, збільшення обсягу обчислень під час розв'язування рівняння. Альтернативним є звуження кроку при найпростішій апроксимації похідних у межах такого ж збільшення обсягу обчислень за рахунок підвищення порядку рівняння (5.159), але з гарантією чисельної стійкості.
Найпростішим методом оцінки точності обчислень є подвійне перечислення з кроком та Власне, не існує іншого методу перевірки точності такого розв'язання в загальному випадку. Загальна тільки оцінка точності апроксимації похідних на основі залишкового члена (4.77).
Очевидно, метод скінченних різниць справедливий також і для систем рівнянь будь-яких порядків. Скінченні рівняння, складені за методом скінченних різниць, часто називають сітковими рівняннями.