51. Основні положення теорії випадкових функцій.

Випадкові величини характеризуються тим, що в результаті досліду приймають деяке, але єдине значення. Отже, вони характеризують випадкові явища в статичному стані в якихось фіксованих постійних умовах окремого досліду.

У практичних задачах виникає необхідність вивчення випадкових величин, що змінюються у процесі посліду.

Випадкова величини, яка змінює у процесі одного досліду своє значення, називається випадковою функцією. Вона змінюється зі зміною аргументу випадковим чином.

Якщо аргументом випадкової функції є час, то така випадкова функція називається випадковим (стохастичним) процесом. Випадковий (стохастичний) процес часто називають послідовністю випадкових величин. Випадкова, функція, зафіксована в окремому досліді, ж деякою конкретною невипадковою функцією аргументу. Ця конкретна функція називається реалізацією випадкової функції (випадкового процесу) і є невипадковою функцією аргументу (часу), яка спостерігається в конкретному досліді.

У деякий фіксований момент часу стохастичний процес характеризується певною випадковою величиною, яку називаються перерізом стохастичного процесу. Для такого значення часу випадковий процес перетворюється у випадкову величину – переріз випадкового процесу, а для деякого конкретного досліду випадковий процес перетворюється у невипадкову функцію часу - реалізацію випадкового процесу. Таким чином, випадковий процес – це безмежна множина випадкових величин або безмежна множина невипадкових функцій часу. Випадкові величини як перерізи випадкового процесу є незалежними і характеризуються кореляційним зв’язком, у чому й полягає єдність процесу.

Для випадкового процесу не існує загального закону розподілу, а окремі їхні вирази, як показує практика, дуже громіздкі. Тому для кількісної оцінки випадкових функцій (процесів) користуються їх числовими характеристиками, - звичайно моментами першого й другого порядку.

Математичне сподівання поточної випадкової величини , яке позначимо , є конкретною функцією часу. Якщо позначити математичне сподівання перерізу процесу для даного значення через , то

. (7.77)

Щоб знайти невипадкову функцію часу , необхідно для кожного значення часу обчислити конкретну величину , яка дорівнює математичному сподіванню випадкової величини при даному значенні . Сукупність усіх значень для різних значень часу й характеризує математичне сподівання випадкового процесу як функцію часу.

Для повної характеристики випадкового процесу необхідно знати ще так звану кореляційну функцію процесу, яка є математичним сподіванням добутку центрованих значень двох випадкових величин для двох довільних конкретних значень часу і .

52. Поняття про стаціонарний випадковий процес. Елементи теорії інформації

Поняття про стаціонарний випадковий процес

Якщо випадковий процес здійснюється одноманітно, як деякий усталений процес, і його основні характеристики (математичне сподівання, дисперсія, момент кореляції рівновіддалених перерізів) не залежать від часу, то такий процес називають стаціонарним випадковим процесом. Його характеристики не залежать від початку відліку часу, й під час аналізу такого процесу приймають, що він триває необмежено довго.

В електроенергетиці прикладами стаціонарних процесів можна назвати коливання напруги на шинах підстанції і частоти при усталеному режимі системи, виклики диспетчера, поступання сигналів автоматичного керування у такому самому режимі тощо.

На практиці стаціонарні випадкові процеси найчастіше характеризуються кореляційною функцією вигляду

(7.92)

Спектральна теорія стаціонарних стохастичних процесів широко застосовується на практиці для дослідження режимів лінійних динамічних систем, які працюють в умовах наявності випадкових завад. Ця теорія дає змогу відносно просто вивчати лінійні системи, передусім у плані кількісної оцінки впливу стаціонарних завад на роботу системи, тобто з її допомогою можна розв’язати задачу аналізу системи, а також при заданому спектральному складі завад визначити параметри лінійної системи для певних заданих умов роботи системи – розв’язати задачу синтезу лінійної системи.

Елементи теорії інформації

Теорія інформації є окремим розділом загальної теорії ймовірностей і вивчає закономірності, що мають місце в процесах збору, передачі, перетворення і зберігання інформації. Ця теорія виникла на основі теорії зв’язку й стала математичним апаратом аналізу процесів керування.

Будь-яка фізична система як об’єкт керування характеризується певними величинами, що несуть інформацію про стан системи. Ця інформація залежно від її обсягу й якості задає з тою чи іншою імовірністю стан системи. Отже, залежно від інформації стан системи характеризується відповідним ступенем неозначеності. Ступінь неозначеності фізичної системи зумовлюється числом можливих станів та їхніми ймовірностями.

Найпростіше ступінь неозначеності системи можна задати у вигляді ряду розподілу ймовірностей окремих станів системи. Для кількісної оцінки неозначеності системи користуються поняттям ентропії, яка дорівнює з від’ємним знаком сумі добутків ймовірностей можливих станів системи на логарифми цих ймовірностей

(7.94)