1. Основні поняття та визначення елементів теорії множин.

У теорії множини вивчають формальні властивості сукупностей елементів (об’єктів) та їх співвідношення. На ній базується більшість розділів сучасної математики, в першу чергу таких, як абстрактна алгебра, топологія, функціональний аналіз. Теорія множин впливає на формування основних понять, концепції у багатьох галузях науки й техніки. Зокрема,в теорії електроенергетики вона займає чільне місце передовсім у таких розділах, як аналіз і синтез електроенергетичних систем (ЕЕС), оптимізація їх структур і елементів, теорія автоматизованих систем керування, моделювання розвитку ЕЕС тощо.

Множина – це сукупність елементів (об’єктів) будь-якої природи (цифри певної системи числення, літери алфавіту, вузли схеми електричного кола, міста, країни тощо), складена за певною ознакою.

Скінченні множини містять скінченну кількість елементів, нескінченні – нескінченну . Скінченну множину з елементами a, b, c, d записують як A = . Приналежність елемента множині позначають символом (наприклад a A). Неприналежність – символом чи (наприклад, r A чи r A).

Якщо всі елементи множини можна пронумерувати у вигляді нескінченної послідовності причому кожен елемент має тільки один номер, то множина називається лічбовою. Множина, елементи якої не можна пронумерувати, називається нелічбовою (наприклад, множина точок в інтервалі дійсної осі). Розглядають також пусту множину, яку позначають символом . Запис означає, що множина не містить жодного елемента. Наприклад, такою множиною є сукупність ЕРС з двома позитивними полюсами (такі не існують). Множину називають родин множин за умови, що самі множини, тобто є підмножинами множини . Множина всіх розглядуваних у задачі елементів іменується повною множиною (наприклад, у лінгвістиці – множина слів певної мови, в енергетиці – множина всіх електростанцій країни).

У теорії множин для впорядкованої множини введено поняття кортеж. Кортеж, складений з елементів множини , звичайно називають коротко кортеж над . Кортеж над , складений з елементів взятих у тому ж порядку, позначається ( . При цьому говорять, що -та координата або компонент кортежу. Число координат називають довжиною кортежу. Крім кортежів довжиною 1 і пусті кортежі , які позначаються так само, як пусту множину (символи ). Довжина кортежу дорівнює .

2.Співвідношення між множинами. Операції над множинами

Об’єднання (диз’юнкцією) множин та є множина

(1.1)

елементи якої належить хоча б одній з об’єднаних множин. Отже, , якщо чи , чи обом одночасно.

Для графічної інтерпретації співвідношень між множинами й операцій над ними користуються діаграмою Ейлера – Венна, на якій множини зображаються певними окресленнями (областями) на поверхні квадрата. На рис. 1.1, показана така інтерпретація об’єднання множин та . Заштрихована частина відповідає множині . З визначення випливає

Співвідношення об’єднання поширюється також на множин у вигляді

(1.2)

Перетин (кон’юкцією) множин та є множина

(1.3)

елементи якої – спільні елементи множин та , тобто якщо й Відповідна інтерпретація показана на рис. 1.1,б. З визначення випливає

Співвідношення перетину поширюється на множин у вигляді

(1.4)

Різницею множин та є множина

\

(1.5)

що виражає множину елементів, які належить , але не належить . Тобто якщо й (рис. 1.1, ). З визначення випливає \ \ .

Симетричною різницею множин та є множина

(1.6)

елементи якої якщо й (рис. 1.1, ). З визначення випливає

Співвідношення

,

(1.7)

означає, що є підмножиною , тобто міститься у (рис. 1.1, ).

Співвідношення

,

(1.8)

означає, що множина збігається з множиною ( й - рис. 1.1, ).

Співвідношення

,

(1.9)

означає, що множини та не збігаються.

Якщо кожному елементові множини можна поставити у відповідність один і тільки один елемент множини та навпаки, то таку попарну відповідність між елементами двох множин називають взаємно однозначною чи 1 – 1 відповідністю. Кажуть, що між такими множинами існує взаємно одночасна відповідність, а самі множини та називають еквівалентними, що записується як

~ ,

(1.10)

Потужністю певної множини називають те загальне, що є у всіх множин, еквівалентній даній. Еквівалентні множини рівнопотужні. Всі множини можна поділити на класи рівнопотужних множин. У такому випадку замість поняття потужність множин вживається поняття клас множини. Якщо з деякої властивості випливає властивість , то таке співвідношення записується як

,

(1.11)

У випадку, коли вказані в (1.11) властивості рівносильні, записують

(1.12)

Доповненням множин є операція знаходження різниці (1.5) множин та за умови, що Така різниця записується як

\ = ,

(1.13)

Одержана множина складається з елементів , які не належать , чи, інакше, доповнює множину до множини .

Окремо виділяють доповнення розглядуваної множини до повної множини. Його записують з допомогою символу без індексу, що показує, до якої множини здійснюється доповнення, чи простіше - . Інтерпретація цього співвідношення показана на рис. 1.1, ж. Очевидно, чи

Декартовим добутком множин та є добуток

(1.14)

в якому - множина всіх можливих комбінацій пар (двійок, 2-рядків) утворених елементами й (рис. 1.2).

Декартів добуток множин поширюється на множин і є множиною послідовностей де для кожного . Записується цей добуток у вигляді

(1.15)