2.4.2Интеграл и его свойства

Пусть G Rn - измеримое множество (не обязательно конечной меры), и

пусть f(x) - простая неотрицательная функция на G. Таким образом, имеем

разбиение G = [1i=1 Gi, ãäå Gi - измеримые множества конечной меры, и f(x) = yi 0 íà Gi. Определим интеграл как сумму ряда

Z1

X

f(x)d := yi (Gi); (2.4.3)

Gi=1

если он сходится. В этом случае простая функция f называется интегриру-

емой (по Лебегу). В литературе встречается также несколько устаревший термин суммируемая (вместо интегрируемая) функция.

Пусть далее f(x) - измеримая неотрицательная функция на G. Тогда по

теореме 2.4.12 существует монотонная последовательность неотрицательных простых функций fn(x), равномерно сходящаяся к f. Положим по определению

ZZ

если существует конечный предел, в этом случае f(x) называется интегрируемой по Лебегу (суммируемой).

Наконец, если f(x) - произвольная измеримая функция (не обязательно

при этом функция называется интегрируемой, если интегрируемы обе функ- öèè f+ è f . Отметим сразу же, что в теории Лебега понятие несобственного интеграла отсутствует: множество G может быть неограниченным, иметь

бесконечную меру, или функция f(x) может быть неограниченной, опреде-

ление интеграла остается единым.

Прежде всего нам нужно доказать корректность определения интеграла. Дело в том, что в формуле (2.4.3) разбиение Gi можно строить различными способами, а в формуле (2.4.4) последовательность fn(x) также строится с некоторым произволом. Нужно доказать что значение интеграла не будет зависеть от указанного произвола.

Лемма 2.4.15 Формула (2.4.3) корректно определяет интеграл от простой функции.

Доказательство. Пусть Gi - разбиение G. Рассмотрим более мелкое разбиение Gji , ò.å., Gji Gi è Gi = [1j=1 Gji : Тогда f(x) = yi на каждом

что и дает совпадение сумм (2.4.3) для разбиений Gi è Gji .

В общем случае двух разбиений Gi è Fj, надо рассмотреть пересечения Gi \ Fj. Они образуют новое разбиение, которое является и подразбиением Gi и подразбиением Fj. Следовательно, суммы (2.4.3) для них совпадают, поскольку каждая из них совпадает с суммой для Gi \ Fj.

Перечислим очевидные свойства интегралов от простых функций:

f(x)d g(x)d :

GG

3.Аддитивность. Если G = G1 [ G2, ãäå G1 è G2 измеримы и не пересе- каются, то

Z Z Z

f(x)d = f(x)d + f(x)d :

GG1 G2

Упражнение 2.4.16 Доказать эти свойства. Воспользоваться замеча- нием 2.4.14.

Следующее свойство, очень важное для дальнейшего, менее очевидно.

Лемма 2.4.17 Пусть последовательность fn(x) неотрицательных простых функций монотонно возрастает на измеримом множестве G, и пусть

lim fn(x) '(x);

n!1

где ' - простая неотрицательная функция. Тогда

ZZ

Доказательство. Подчеркнем, что в неравенстве (2.4.6) допускаются бесконечные значения для (G) и интегралов. Соответственно приходится

рассматривать три случая.

1. Пусть (G) < 1; ' m. Возьмем произвольное " > 0, и пусть

Gn = ffn(x) > '(x) "g:

Òàê êàê fn(x) - монотонная последовательность, то Gn Gn+1, а поскольку limn!1 fn(x) '(x), òî [1n=1 Gn = G: Тогда

Z Z Z

fn(x)d fn(x)d ('(x) ")d

G Gn Gn

ZZ

GGnGn

Второй интеграл стремится к нулю, так как он меньше, чем (m ") (G n Gn) ! 0. Следовательно,

ZZ

откуда в силу произвольности " следует (2.4.6). 2. Пусть

Z1

X

'(x)d = yk (Gk) < 1:

Gk=1

Рассмотрим множество A = [Nk=1 Gk: Мера (A) конечна, а функция ' на A ограничена:

' m = maxfy1; y2; : : : ; yN g;

т.е., выполнены условия предыдущего случая. Значит,

что опять-таки дает (2.4.6) в силу произвольности ": 3. Пусть теперь

Z1

X

'(x)d = yk (Gk) = +1:

Gk=1

Берем произвольное M > 0. Тогда найдется такое N, что

N

X

yk (Gk) > M:

k=1

36 ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

Рассмотрим множество A = [Nk=1 Gk конечной меры. Функция ' на нем ограничена

'maxfy1; y2; : : : ; yN g;

èмы снова находимся в условиях первого случая. Следовательно,

Следствие 2.4.18 Определение интеграла 2.4.4 корректно, т.е., не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности fn(x):

Доказательство. Пусть fn(x) è gn(x) - две монотонно возрастающие последовательности неотрицательных простых функций, равномерно сходящихся к f(x). Имеем при любом k

lim fn(x) = f(x) gk(x):

n!1

По лемме 2.4.17 отсюда следует, что

ZZ

Переходя к пределу при k ! 1, получим

ZZ

Меняя ролями последовательности fn è gk, приходим к противоположному неравенству.

На этом конструкция интеграла Лебега заканчивается. Свойства интегралов от простых функций (линейность, монотонность, аддитивность) оче- видным образом переносятся на общий случай. Докажем, например, монотонность.

Предложение 2.4.19 Пусть f(x) и g(x) интегрируемые функции на множестве G, и пусть f(x) g(x).

GG

Доказательство. Рассмотрим сначала случай неотрицательных функций. Положим '(x) = g(x) f(x) 0. Пусть fn(x) è 'n(x) возрастающие

последовательности простых функций, равномерно сходящиеся к f(x) и '(x) соответственно. При этом можно считать, что простые функции fn(x)