Следовательно, уравнение (5.2.17) имеет единственное решение

Z t

x(t) = f(t) + r(t; )f( )d :

a

Следствие 5.2.7 Спектр интегрального оператора с ядром Вольтерра состоит только из нуля.

Доказательство. Если 6= 0 уравнение Kx = x можно переписать в

âèäå

x = 1 Kx:

Это уравнение является однородным интегральным уравнением Вольтерра, и по доказанной теореме имеет только нулевое решение.

5.3Теория Гильберта - Шмидта

В этом разделе рассматриваются самосопряженные компактные операторы в гильбертовом пространстве H. В конечномерном случае основная теорема

о самосопряженных операторах утверждает существование ортонормированного базиса из собственных векторов. Теория Гильберта - Шмидта дает обобщение этого результата на бесконечномерный случай.

Как и в конечномерном случае, собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора, не обязательно компактного, обладают простыми свойствами, перечисленными ниже.

Теорема 5.3.1 1. Собственные значения действительны.

2.Собственные векторы, отвечающие различным собственным значе- ниям, ортогональны.

3.Если L H - инвариантное подпространство самосопряженного оператора, то и ортогональное дополнение L? также инвариант- íî.

Доказательство. 1. Если x - нормированный собственный вектор с собственным значением , то

(x; Kx) = (x; x) = :

Значения квадратичной формы действительны (лемма 4.4.11), следовательно, - действительное число.

2. Пусть x1; x2 - собственные векторы с различными собственными зна- чениями 1 6= 2. Тогда

(x2; Kx1) = 1(x2; x1);

а с другой стороны

(x2; Kx1) = (Kx2; x1) = 2(x2; x1):

Отсюда следует, что (x2; x1) = 0, поскольку 1 6= 2.

3. Пусть x 2 L - произвольный вектор. Так как L инвариантно, то Kx принадлежит L. Тогда для любого y 2 L? имеем

0 = (y; Kx) = (Ky; x):

Следовательно, Ky ортогонален любому вектору x 2 L, значит Ky 2 L?.

Следующая теорема является основной в теории Гильберта - Шмидта.

Теорема 5.3.2 Пусть K 6= 0 - самосопряженный компактный оператор. Тогда задача на экстремум

при условии kxk = 1 имеет решение. Вектор x, на котором этот мак-

симум достигается, является собственным вектором с наибольшим по модулю собственным значением.

Отметим, что несамосопряженные ненулевые компактные операторы могут и не иметь ненулевых собственных значений (см. предыдущий раздел). Для самосопряженных операторов это невозможно.

Доказательство. По теореме 4.4.13

sup j(x; Kx)j = sup kKxk = kKk;

kxk=1 kxk=1

и эта величина строго больше нуля, если K 6= 0. Пусть xn - последователь- ность единичных векторов, такая что

j(xn; Kxn)j ! kKk:

Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно добиться, чтобы сходилась сама последовательность (xn; Kxn). Ее предел, равный либо kKk, либо kKk, обозначим 1. Рассмотрим далее

kKxn 1xnk2 = kKxnk2 2 1(xn; Kxn) + 21:

Здесь kKxnk2 kKk2 = 21; поэтому

kKxn 1xnk2 2 21 2 1(xn; Kxn) ! 0;

Последовательность xn ограничена, а K - компактный оператор, следовательно, из последовательности Kxn

следовательность Kxnk . Из (5.3.2) следует, что

xnk = Kxnk = 1 (Kxnk 1xnk )= 1

(подчеркнем, что 1 > 0) также сходится. Обозначив ее предел через e1 è переходя в (5.3.2) к пределу по этой подпоследовательности, получим

Ke1 = 1e1;

è ke1k = lim kxnk k = 1. Таким образом, e1 - единичный собственный вектор, а поскольку

j(e1; Ke1)j = j 1j = kKk;

то он дает решение экстремальной задачи (5.3.1).

Будем искать теперь другие собственные векторы и собственные значе- ния. Для этого заметим, что ортогональное дополнение H1 = e?1

ному вектору e1, найденному ранее, будет инвариантным подпространством оператора K, поскольку одномерное собственное подпространство инвари-

антно, а тогда по теореме 5.3.1, пункт 3, ортогональное дополнение также инвариантно. Оператор K на H1 будет по-прежнему самосопряженным и компактным, и мы можем повторить конструкцию теоремы 5.3.2. В результате получим собственное значение 2 и собственный вектор e2, которые дают решение задачи на максимум

j 2j = max j(x; Kx)j = max j(x; Kx)j;

x2H1;kxk=1 (e1;x)=0;kxk=1

ïðè ýòîì j 1j j 2j è e2 ? e1. Продолжая далее, рассмотрим подпростран- ñòâî H2 = fe1; e2g? - ортогональное дополнение к инвариантному подпро-

странству, натянутому на e1 è e2. H2 само инвариантно, и мы можем опять применить теорему в пространстве H2 т.д.. Мы получим последователь- ность собственных значений

и ортонормированную последовательность собственных векторов e1; e2; : : : ; en. Ïðè ýòîì n è en дают решение задачи на максимум

x?fe1;e2;:::;en 1g;kxk=1

Далее могут представиться две возможности. Либо на некотором шага оператор K на подпространстве Hn окажется нулевым, и процесс закончится, либо этот процесс будет продолжаться неограниченно, и мы получим счетную последовательность собственных значений

В последнем случае с необходимостью предел = limn!1 j nj равен нулю. Действительно, предполагая, что 6= 0, воспользуемся компактностью K и

выделим из последовательности

Ke1 = 1e1; : : : ; Ken = nen; : : :

сходящуюся подпоследовательность. Но этоpïротиворечит тому, что расстояние между Ken è Kem остается больше 2 , òàê êàê

k nen memk2 = j nj2 + j mj2 2 2:

Сама точка = 0 может как быть собственным значением, так и не быть

им, но обязательно является предельной точкой собственных значений, если их бесконечно много.

Займемся теперь рядами Фурье (см. раздел 3.2.2) по ортонормированной системе (5.3.6). Назовем вектор x истокообразно представимым , если

он имеет вид x = Ky, где y 2 H некоторый вектор, другими словами, принадлежит образу оператора K.

Теорема 5.3.3 Любой истокообразно представимый вектор x можно разложить в ряд Фурье по собственным векторам оператора K.

Для того, чтобы система собственных векторов (5.3.6) была полна в пространстве H (т.е., чтобы любой вектор x 2 H разлагался в ряд

Фурье), необходимо и достаточно, чтобы = 0 не было собственным зна- чением оператора K.

Доказательство. Пусть x 2 H произвольный вектор, и пусть zn+1 2 Hn+1 - разность между x и n-ой частичной суммой ряда Фурье, т.е.,

n

X

zn+1 = x ek(ek; x):

k=1

Отсюда следует, что kzn+1k2 kxk2. Применяя к обеим частям оператор K, и учитывая, что

Kei(ei; x) = iei(ei; x) = ei(Kei; x) = ei(ei; Kx);

получаем, что вектор Kzn+1 равен разности между вектором Kx и частич- ной суммой ряда Фурье для этого вектора:

n

X

Kzn+1 = Kx ek(ek; Kx):

k=1

Оператор K на подпространстве Hn+1 имеет норму j n+1j, следовательно, kKzn+1k j n+1jkzn+1k j n+1jkxk;