6.2Ортогональные проекторы

Так называются операторы, которые вектору x ставят в соответствие его

проекцию на подпространство L параллельно ортогональному дополнению L?. Напомним (теорема 3.3.8), что любой вектор x единственным образом представляется в виде суммы x0+x00, ãäå x0 2 L, à x00 2 L?, и мы определяем оператор ортогонального проектирования, полагая P x = x0 Для краткости пользуются также термином ортопроектор.

Теорема 6.2.1 Оператор ортогонального проектирования удовлетвлря-

Напомним, что символом Ker P - ядро P - обозначается подпространство векторов x, которые аннулируются оператором P , т.е., P x = 0. Символ Im P -образ P - обозначает множество векторов, представимых в виде P x. Отметим, что хотя в общем случае образ оператора не обязательно замкнут,

вектор P y, где y произвольный вектор, получим P y = P P y, откуда P = P 2. В силу ортогональности x0 è x00 имеем

kxk2 = kx0k2 + kx00k2 kx0k2;

так что kP xk kxk. Но при x 2 L P x = x, значит kP k = 1.

Обратно, пусть P - самосопряженный оператор, удовлетворяющий со-

Im (1 P ). Эти подпространства ортогональны, так как в силу самосопряженности имеем

(x0; y00) = (P x; (1 P )y) = (x; P (1 P )y) = 0:

Посмотрим, как на языке проекторов выражается соотношение включе- ния двух подпространств.

Теорема 6.2.2 Пусть L1 = Im P1, L2 = Im P2, ãäå P1; P2 - ортопроек- торы. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1.L1 L2;

2.P2P1 = P1;

3.P1P2 = P1;

4.kP1xk kP2xk для любого x 2 H;

5.P1 P2:

Доказательство. 1: ! 2: Для любого x 2 H имеем P1x 2 L1, и следо- вательно, P1x 2 L2. Но тогда P2(P1x) = P1x, откуда в силу произвольности

x получаем P2P1 = P1.

2: ! 3: P1 = P1 = (P2P1) = P1 P2 = P1P2:

3: ! 4: kP1xk = kP1P2xk kP1kkP2xk = kP2xk:

4: ! 1: Пусть x 2 L1. Тогда

kxk = kP1xk kP2xk kxk:

Отсюда следует, что kP2xk = kxk. Из теоремы Пифагора kP2xk2 + k(1 P2)xk2 = kxk2

получаем тогда, что (1 P2)x = 0, ò.å., x 2 Ker (1 P2) = L2: Наконец, эквивалентность 4. и 5. следует из того, что

(P x; x) = (P 2x; x) = (P x; P x) = kP xk2:

Из свойств 2. и 3. следует, в частности, что проекторы P1 è P2 комму- тируют (перестановочны) , т.е.,

[P1; P2] = P1P2 P2P1 = 0:

Теорема 6.2.3 Произведение P1P2 двух ортопроекторов является ортопроектором тогда и только тогда, когда они перастановочны. В этом случае P1P2 проектирует H на пересечение подпространств L1 = Im P1 è

L2 = Im P2:

Доказательство. Пусть P1 è P2 коммутируют. Тогда

(P1P2)(P1P2) = P1P1P2P2 = P1P2;

ò.å., P1P2 является проектором. При этом

(P1P2) = P2 P1 = P2P1 = P1P2;

òàê ÷òî P1P2 - ортопроектор.

118 ГЛАВА 6. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

Обратно, пусть P1P2 - ортопроектор. Тогда

(P1P2) = P1P2 = P2 P1 = P2P1;

ò.å., P1 è P2 коммутируют.

Докажем, что оператор P2P1 = P1P2 проектирует H на L1 \ L2, ãäå L1 = Im P1 и аналогично L2 = Im P2. Действительно,

P1P2x = P1(P2x) 2 L1:

В то же время

P1P2x = P2(P1x) 2 L2;

ò.å., Im P1P2 L1 \ L2. Обратно, если x 2 L1 \ L2; òî

P1x = x; P2(P1x) = P2x = x;

ò.å., x 2 Im P1P2:

Последнее утверждение следует из равенства

(P1x; P2y) = (P2P1x; y) = 0:

Пусть теперь P - ортопроектор, а A - произвольный оператор, перестановочный с P , т.е., коммутатор P и A равен нулю:

[P; A] = P A AP = 0:

Из этого равенства следует, что подпространство L = Im P инвариантно относительно A. Действительно, если x 2 L, то x = P x, и значит

Ax = AP x = P (Ax) 2 L;

так что A отображает L в себя. Поскольку, очевидно, A коммутирует и с 1 P , то подпространство L? = Im (1 P ) также инвариантно. Говорят, что подпространство L приводит A, если не только L, но и L? являются инвариантными подпространствами. Сам оператор записывается в виде

A= AP + A(1 P ) = AL + AL?:

Âбазисе, составленном из базисов в L и L? оператор задается блочно-

диагональной матрицей

ãäå A1; A2 - "части"оператора A в подпространствах L; L?. По этим частям оператор восстанавливается однозначно: оператор A1 в L продолжаем на

4.E( ) = 0 ïðè < m è E( ) = 1 ïðè > M,

5.пусть - промежуток ( ; ], и пусть E = E( ) E( ). Тогда выполнены неравенства

Спектральная теорема состоит в том, что для любого самосопряженного оператора A существует единственная спектральная функция. Дока-

зательство мы отложим до следующего раздела, а здесь дадим различные комментарии и следствия.

Пример 6.3.2 Пусть H конечномерно, и пусть

m = 1 < 2 < : : : < n = M

собственные значения A, а Li соответствующие собственные подпростран-

ãäå Pi - ортогональные проекторы на подпространства Li. Таким образом, E( ) постоянна на каждом из интервалов ( i; i+1), а в точках I имеет скачки, равные Pi.

Покажем, что так определенная функция действительно является спектральной функцией оператора A. Свойства 2,3,4 очевидны. Для доказатель-

ства 1 рассмотрим оператор В, перестановочный с A. Тогда для собственного вектора ei 2 Li имеем

A(Bei) = B(Aei) = i(Bei):

Следовательно, Bei 2 Li, т.е., собственное подпространство инвариантно относительно B, а так как подпространства Li в сумме дают все простран- ство H, то все они приводят B. Это дает [B; Pi] = 0, а тогда и [B; E( )] = 0 при любом .

Докажем теперь неравенства (6.3.1). Из определения E( ) следует, что

а его "часть соответствующая промежутку , в виде

n

XX

j=1 j2

Тем самым максимальное собственное значение оператора AE не превос- ходит правого конца промежутка , а минимальное - не меньше левого

конца, что и дает неравенства (6.3.1).

Возвращаясь к общему случаю, отметим следующие свойства операто- ðîâ E , вытекающие из определения спектральной функции. Доказательства в основном предоставляются читателю в качестве упражнений.

1. Значения E( ) и E( ) в разных точках и перестановочны.

2. Подпространство Im E( ) содержится в Im E( ) при < , или же

E( )E( ) = E( ).

3.E = E( ) E( ) - это ортопроектор на подпространство Im E( ) \

(Im E( ))?.

4.E 1 \ E 2 = E 1\ 2 , в частности E 1 E 2 = 0, åñëè 1 è 2 не пересекаются.

В конечномерном пространстве функция E( ) кусочно постоянна, а для

оператора имеет место представление в виде суммы (6.3.2), взятой по точ- кам разрыва спектральной функции. В бесконечномерном случае E( ) мо-

жет быть непрерывной и даже гладкой функцией, поэтому представление (6.3.2), вообще говоря, невозможно. Вместо этого имеем интегральное представление, которое мы здесь определим и обсудим.

Пусть a < m; b > M. Разобьем отрезок [a; b]

a = 0 < 1 < 2 : : : < n = b

произвольными точками i и положим i = ( i 1; i],

E i = E( i) E( i 1):

Тогда неравенства (6.3.1) дают

i 1E i AE i iE i :

Выберем также произвольные точки i 2 i. Тогда i 1E i iE iiE i : Из этих двух неравенств следует, что

j ijE i (A i)E i j ijE i ;

ãäå j ij = i i 1 - длина i. Полагая = max j ij, будем иметь

E i AE i iE i E i :

Просуммируем эти неравенства и учтем, что

Тогда приходим к неравенству