Полнота

Пример 1.1.6 Пространство Lc[a; b]. Элементы - непрерывные функции x(t) (на непрерывность указывает индекс c вверху). Метрика - это сред-

нее отклонение

Z b

(x(t); y(t)) = jx(t) y(t)jdt:

a

Упражнение 1.1.7 Доказать, что аксиомы расстояния выполняются в указанных примерах.

Имея в распоряжении понятие расстояния, стандартным образом вводятся все понятия, связанные с пределами и непрерывностью.

Определение 1.1.8 "-окрестностью точки x0 2 M называется множество точек x 2 M, удовлетворяющих неравенству

(x; x0) < ":

Определение 1.1.9 Последовательность xn 2 M сходится к a 2 M, если

lim (xn; a) = 0:

n!1

Упражнение 1.1.10 Сформулировать определение предела на языке

\" N00.

Определение 1.1.11 Пусть каждой токе x 2 M сопоставляется точ- ка F (x) 2 N, где M и N - метрические пространства. Тогда мы говорим, что задано отображение M в N и пишем

F : M ! N

F : x 7!F (x):

Упражнение 1.1.12 Дать определение непрерывности отображения на языке "" ".

Упражнение 1.1.13 Доказать, что сходимость последовательности xn(t) 2 C[a; b] - это равномерная сходимость функциональной последова-

тельности.

1.2Полные метрические пространства

Мы можем теперь дать основные определения.

Определение 1.2.1 Последовательность xn точек метрического про- странства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого " существует такое N, что для всех n; m > N

(xm; xn) < ":

Коротко это записывается так

lim (xm; xn) = 0:

m;n!1

Следующее предложение копирует "необходимость критерия Коши"из курса анализа.

Предложение 1.2.2 Если последовательность xn сходится к пределу a 2 M, то она фундаментальна.

Доказательство. Из определения предела имеем: для любого " > 0 существует такое N, что при любых n > N (xn; a) < "=2. Тогда при любых m; n > N с помощью неравенства треугольника получаем

(xm; xn) (xm; a) + (xn; a) < "=2 + "=2 = ":

Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение 1.2.3 Метрическое пространство M называется пол-

ным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу a 2 M.

Другими словами, полнота означает "достаточность критерия Коши".

Упражнение 1.2.4 Будут ли полными пространства в примерах 1.1.2 - 1.1.6

1.3Сжимающие отображения

Теорема 1.3.1 Пусть F : M ! M - отображение полного метриче-

ского пространства в себя, обладающее свойством сжатия: существует такая постоянная c 2 (0; 1), что для любых x1; x2 2 M

Тогда существует единственная точка x 2 M, удовлетворяющая уравнению

(неподвижная точка).

10 ГЛАВА 1. ПОЛНОТА

Доказательство. Рассмотрим метод итераций для уравнения (1.3.2). В качестве начальной итерации берем любую точку x0 2 M. Далее опреде-

ляем последовательные итерации x1; x2; : : : по правилу

x1 = F (x0); x2 = F (x1); : : : ; xn+1 = F (xn); : : : :

Докажем, что последовательность xn фундаментальна. При n > m > N имеем по неравенству треугольника

n 1

X

(xm; xn) (xk; xk+1):

k=m

Далее, по свойству сжатия

(xk; xk+1) c (xk 1; xk) : : : ck (x0; x1):

Значит,

=m

при N ! 1; откуда следует фундаментальность.

Из полноты пространства M следует, что существует точка x 2 M, такая что xn ! x. А так как F (x) - сжимающее отображение, то последовательность F (xn) сходится к F (x). Действительно,

(F (xn); F (x)) c (xn; x) ! 0

в силу свойства сжатия. Имеем

xn+1 = F (xn):

Переходя к пределу, слева получим x, а справа F (x), т.е., x является реше-

нием уравнения (1.3.2), т.е., неподвижной точкой.

Докажем единственность. Пусть существуют две неподвижные точки, т.е.,

x1 = F (x1); x2 = F (x2):

Тогда, беря расстояние между ними и пользуясь сжимающим свойством, получим

(x1; x2) = (F (x1); F (x2)) c (x1; x2):

Получаем противоречие, так как 0 < c < 1.

Проиллюстрируем, что дает эта теорема в конкретных примерах.

Пример 1.3.2 (Извлечение квадратного корня) M = R+ - множе- ство положительных действительных чисел, (x; y) = jx yj,

F : x 7!12 x + xa ; a > 0:

Заметим, что F (x) pa для любого x 2 R+. Пусть даны x1; x2 pa. Тогда

т.е., свойство сжатия с c = 1=2 выполнено для всех итераций, начиная со второй (так как F (x1); F (x2) pa). Отсюда по теореме 1.3.1 существует

единственный корень уравнения

x = 12 x + xa ;

p

т.е., x = a. Такой метод извлечения корня применяется в вычислительной практике, так как он прост алгоритмически и быстро сходится.

Пример 1.3.3 Рассмотрим задачу Коши для дифференциального урав-

Теорема 1.3.4 Пусть функция f(x; y) непрерывна и удовлетворяет усло-

Тогда для любых x0; y0 существует единственное решение y(x) задачи Коши (1.3.3), определенное в некоторой окрестности jx x0j < точки x0.

Доказательство. Задача Коши допускает эквивалентную запись в виде

Сведем к теореме о сжимающих отображениях. Пусть

: jx x0j a; jy y0j b

замкнутый прямоугольник, целиком содержащийся в области определения функции f(x; y). Введем

C = max jf(x; y)j;

и выберем так, чтобы выполнялись два условия

C < b; K < 1;

ò.å.,

< min Cb ; K1 :

странства C[x0 ; x0 + ] (см. пример 1.1.4), состоящее из функций, удовлетворяющих неравенству

jy(t) y0j b; t 2 [x0 ; x0 + ]:

Отображение

jF (y(t)) y0j jf(t; y(t))jdt C < b;

x0

òàê ÷òî F (y(t)) 2 M, åñëè y(t) 2 M.

Покажем, что F является сжатием. Пусть y1(t); y2(t) 2 M. Тогда

Kjy1(t) y2(t)jdt K max jy1(t) y2(t)j:

x0

Значит,

Так как K < 1, то условие сжатия выполнено. Следовательно, по теореме 1.3.1 существует единственное решение уравнения (1.3.5).

Упражнение 1.3.5 Рассмотреть пример

F : x 7!12 x + xa

на пространстве Q+ рациональных положительных чисел. Почему неверна терема о неподвижной точке?

Почему неверна теорема о неподвижной точке?