Это означает, что k2 как функция x при фиксированном y истокообразно представима. Тогда ее ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно. Мы получаем таким образом ряд для повторного ядра

k=1

Действительно, собственные значения оператора K2 равны 2k, òàê êàê

K2ek = K Kek = kKek = 2ek:

Тогда ряд Фурье (5.3.8) для ядра в применении к оператору K2 будет иметь

вид (5.3.10), но при этом он будет еще равномерно сходящимся к k2(x; y). 4. Формула Шмидта. Это формула для решения интегрального уравне-

íèÿ

u = Ku + f

при условии, что 1 не является собственным значением оператора K. Функция Ku истокообразно представима, следовательно она разлагает-

ся в ряд Фурье по собственным функциям. Отсюда

1

X

u(x) = kckek(x) + f(x);

k=1

ãäå ck - коэффициенты Фурье функции u. Приравнивая коэффициенты Фурье левой и правой части, получим

ck = kck + fk;

Откуда ck = fk=(1 k), è

1

u(x) = X kfk ek(x) + f(x):

k=1

1 k

5.4Задача Штурма - Лиувилля

Так называется следующая задача: найти такие значения , для которых существуют дважды непрерывно дифференцируемые функции y(x) 60 на [a; b], удовлетворяющие дифференциальному уравнению

При этом называется собственным значением , а y - собственной функцией. Предполагается, что

0 =2; 0 =2;

и что q(x) 0 - непрерывна. Предполагается также, что хотя бы одно из неравенств является строгим, т.е., либо > 0, либо > 0, либо q(x) строго

положительна хотя бы в одной точке. Эти условия мы называем условиями положительности. Они не являются обязательными. Заметим также, что вместо уравнения (5.4.1) можно рассматривать более общие дифференциальные уравнения. Мы пренебрегли этими непринципиальными обобщениями ради упрощения изложения.

Физический смысл. Собственные функции описывают форму стоячих колебаний струны в упругой среде с коэффициентом упругости q(x). Если= 0, то из (5.4.2) следует, что y0(a) = 0. В этом случае говорят, что левый

конец струны свободен. При = =2 имеем y(a) = 0, и говорят, что ле-

вый конец фиксирован. В остальных случаях говорят, что конец закреплен упруго, при этом k = tg > 0 называется жесткостью упругого закрепле-

ния. То же относится и к правому концу x = b. Собственные значения дают

квадраты частот стоячих колебаний.

В квантовой механике случай = = =2 соответствует частице в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками при x = a и x = b и потенциалом q(x) внутри ящика. Собственные значения дают дискретные уровни энергии частицы.

Пример 5.4.1

y00 = y;

y(0) = y( ) = 0:

Эта задача допускает явное решение. Общее решение уравнения имеет вид

pp

y = C1 cos x + C2 sin x:

p

Краевому условию y(0) = 0 удовлетворяет только C sin x. При x = p p 2

получаем sin = 0, откуда = n и n = n2; n = 1; 2; : : : (n = 0 не годится, так как тогда y 0). Итак, решением задачи Штурма - Лиувилля

будет последовательность

n = n2; yn = sin nx:

Мы видим, что собственные функции образуют полную ортогональную систему. Ряды Фурье по собственным функциям - это классические ряды Фурье по синусам.

Переходя к общему случаю, заметим, что задачу можно записать (по крайней мере формально) в виде задачи на собственные значения

дифференциальный оператор Штурма - Лиувилля . Заметим, однако, что он существенно отличается от операторов, которые рассматривались до сих пор. Во-первых, оператор определен не на всем пространстве L2[a; b], а только на плотном множестве дважды непрерывно дифференцируемых функций. К тому же мы накладываем на функцию y(x) краевые условия. Таким

образом, оператор (5.4.5) естественно рассматривать на области определения

Тогда задача Штурма - Лиувилля - это задача на собственные значения оператора L, рассматриваемого на области определения D(L).

Лемма 5.4.2 Собственные значения действительны и положительны.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму (y; Ly), где y 2 D(L). Интегрируя по частям, получим

Z b

(y; Ly) = y(x) ( y00 + q(x)y(x)) dx

a

При или равных 0 или =2 проинтегрированные члены исчезают при подстановке. В остальных случаях выразим y0(a) = tg y(a) è y0(b) =tg y(b), òàê ÷òî

Z b

(y; Ly) = tg jy(a)j2 + tg jy(b)j2 + jy0(x)j2 + q(x)jy(x)j2 dx: (5.4.6)

a

Мы видим, что квадратичная форма всегда положительна, если y 6 0 (по-

ложительно определена).

Если y - собственная функция, то из (5.4.6) получим

(y; y) = (y; Ly) > 0;

что и доказывает лемму.

Замечание 5.4.3 Выражение (5.4.6)- это энергия системы (потенциальная). При этом интеграл дает энергию струны, а первые два члена - это энергия пружин в точке упругого закрепления.

Наш дальнейший план состоит в том, чтобы построить обратный опе- ратор L 1 и показать, что он является интегральным оператором с непре-

рывным симметричным ядром, так что к нему применима теория Гильберта Шмидта. Тогда, применяя L 1 к равенству (5.4.4), приходим к задаче на

собственные значения

(5.4.7)

Таким образом, мы сводим задачу Штурма - Лиувилля к интегральному

уравнению.

Чтобы построить L 1 нужно для любой функции f 2 L2[a; b] решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Ly = y00 + qy = f:

Оно решается методом вариации постоянных:

y = C1(x)u1(x) + C2(x)u2(x);

ãäå u1; u2 - линейно независимые решения однородного уравнения, а C1; C2

где w - определитель Вронского решений u1; u2

u1 u2

Его постоянство следует из теоремы Лиувилля, так как уравнение не содержит члена с первой производной. Решение неоднородного уравнения можно записать в виде

ãäå A1; A2 - произвольные постоянные.

Мы должны еще позаботиться о том, чтобы y удовлетворяло краевым

условиям. Выберем u1 чтобы оно удовлетворяло краевому условию на левом конце. Для этого достаточно решить задачу Коши

u001 + q(x)u1 = 0; u1(a) = cos ; u01(a) = sin :

Тогда оно удовлетворяет краевому условию на правом конце.

Лемма 5.4.4 Решения u1; u2 линейно независимы.

Доказательство. Проверим, что вронскиан не равен нулю хотя бы в одной точке, например, при x = a. Имеем

= cos u02(a) sin u2(a):

Если бы w = 0, это означало бы, что u2 удовлетворяет краевому условию в точке a. В точке b оно также удовлетворяет краевому условию по построению. Но тогда u2 была бы собственной функцией оператора L с собственным значением = 0, что противоречит лемме 5.4.2.

Функция G(x; t), называемая функцией Грина задачи Штурма - Лиувилля, обладает свойствами:

1.симметрия: G(x; t) = G(t; x);

2.непрерывность,

3.на интервалах x 2 [a; t) и x 2 (t; b] удовлетворяет дифференциальному

4. функция @G(x; t)=@x имеет скачок при x = t, равный -1.

110 ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Все эти свойства очевидны, кроме, может быть, 4). Для доказательства 4)

Отметим также, хотя это нам в дальнейшем не понадобится, что эти свойства однозначно определяют функцию Грина.

Теперь мы можем установить свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.

1. Собственные значения положительные и простые. Положительность уже была доказана в лемме 5.4.2. Простота означает, что собственному зна- чению отвечает только одна с точностью до множителя собственная функция. Для доказательства предположим, что имеется две собственных функции y1; y2. Так как в точке a они удовлетворяют одному краевому условию, то их вронскиан

а так как они удовлетворяют и одному однородному уравнению

y00 + qy = y;

то они линейно зависимы.

2. Теорема о разложении.

Теорема 5.4.5 (Стеклов) Любая функция f 2 D(L) разлагается в аб-

солютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля.

Доказательство. То, что f 2 D(L), означает, что f дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет краевым условиям. Тогда

Lf = f00 + qf = h(x) 2 C[a; b]

è Z b

f = L 1h = G(x; t)h(t)dt:

a

Следовательно, f истокообразно представима, и теорема следует из теоре-

мы Гильберта - Шмидта.

3. Множество собственных значений счетно. Из теории Гильберта - Шмидта следует, что оно не более, чем счетно. Если бы оно было конечным, то по теореме о разложении собственные функции давали бы конечный базис в L2[a; b], что невозможно.