Теорема 4.3.10 Если E - сепарабельное пространство, то E - также сепарабельно.

Доказательство. Пусть f1; f2; : : : - последовательность функционалов плотная в E . Выберем векторы xk 2 E с нормой 1, так чтобы jfk(xk)j

kfkk=2: Покажем, что линейные комбинации (конечные) векторов xk ïëîò- ны в E, тем самым будет установлена сепарабельность E. Предполагая, что это неверно, рассмотрим подпространство L - замыкание множества линей-

ных комбинаций xk. Так как по предположению L 6= E, то найдется вектор

x0 62L. По следствию 4.2.5 существует функционал f, равный 0 на L и такой, что f(x0) 6= 0. Поскольку последовательность fk плотна в E , òî

найдется подпоследовательность fnk , сходящаяся к f. Тогда

1

kfnk fk jfnk (xnk )j = jfnk (xnk j 2kfnk k;

поскольку xnk 2 L, и значит f(xnk ) = 0. Левая часть этого неравенства стремится к нулю, следовательно fnk ! 0, что противоречит тому, что fnk ! f.

Для комплексных пространств lp все остается в силе за исключением формулы (4.3.6) которая в комплексном случае заменяется на

1

X

что согласуется с леммой Рисса об общем виде линейного функционала для пространства l2.

Для пространств Lp (см. пример 4.1.3) справедливы аналогичные утверждения, а именно, Lp = Lq ïðè 1 < p < 1; L1 = L1. Отсюда следует рефлексивность Lp при 1 < p < 1. Пространство L1 не рефлексивно, как

èl1. Однако доказательство этих фактов значительно сложнее, чем для lp,

èмы не будем их рассматривать.

4.4Сопряженные и самосопряженные операторы

4.4.1Определения и примеры

Пусть X; Y - банаховы пространства, A : X ! Y - линейный ограниченный оператор. Тогда определен оператор A : Y ! X , называемый сопряжен-

ным к A и действующий по формуле

Здесь x 2 X, а f 2 Y - функционал на Y .

(A ( f1 + f2))(x) = ( f1 + f2)(Ax)

= f1(Ax) + f2(Ax) = (A f1)(x) + (A f2)(x):

Докажем ограниченность. Для нормы функционала A f 2 X имеем

откуда следует, что kA k kAk. В частности, A - ограниченный оператор. Чтобы доказать обратное неравенство, возьмем произвольный вектор x,

и пусть y = Ax. По следствию 4.2.4 из теоремы Хана - Банаха построим функционал f 2 Y такой, что

kfk = 1; f(y) = kyk:

Тогда

kAxk = kyk = f(y) = f(Ax) = (A f)(x)

kA fkkxk kA kkfkkxk = kA kkxk;

откуда получаем kAk kA k:

Упражнение 4.4.2 Пусть X; Y; Z - банаховы пространства, A : X ! Y

Нам понадобится операция эрмитова сопряжения (прямоугольных) матриц.

Определение 4.4.4 Пусть A - m n-матрица с элементами aij; i = 1; 2; : : : ; m; j = 1; 2; : : : ; n. Эрмитово сопряженной к A называется n m- матрица Ay, у которой ij-й элемент равен aji.

Другими словами, матрица Ay получается из A транспонированием, т.е.,

заменой строк столбцами, и комплексным сопряжением. В частности, стол- бец u с элементами u1; u2; : : : ; un переходит при эрмитовом сопряжении в

строку

uy = (u1; u2; : : : ; un):

Нетрудно доказать следующие свойства эрмитова сопряжения.

Упражнение 4.4.5 Доказать, что

(AB)y = ByAy; Ayy = A:

В этих обозначениях выражения для функционалов f и g принимают

âèä

f(x) = uyx; g(y) = vyy;

а для сопряженного оператора получим

(A g)(x) = g(Ax) = vyAx = (Ayv)yx:

Таким образом, матрица сопряженного оператора A получается эрмито- вым сопряжением из матрицы A, т.е., равна

01

Âдействительных пространствах эрмитово сопряжение переходит в транспонирование.

Âдальнейшем мы не будем педантично различать сопряженный опера- òîð A и его матрицу Ay, используя для обоих обозначение A .

Пример 4.4.6 Интегральный оператор. Рассмотрим в пространстве L2[a; b] интегральный оператор

Z b

y(t) = (Kx)(t) = K(t; )x( )d ;

a

где ядро K(t; ) - непрерывная функция на квадрате t; 2 [a; b] Функционал в L2 задается функцией v(t) 2 L2 по формуле

Z b

g(x(t)) = v(t)x(t)dt

a

(см. пример 4.1.3). Следовательно, для сопряженного оператора получаем

Z b Z b

(K g)(x(t)) = g((Kx)(t)) = v(t)dt K(t; )x( )d

aa

! !

Z b Z b Z b Z b

= K(t; )v(t)dt x( )d = K( ; t)v( )d x(t)dt:

a a a a

Отсюда сразу же вытекает, что сопряженный оператор действует по формуле

Z b

u(t) = (K v)(t) = K( ; t)v( )d ;

a

т.е., является интегральным оператором, ядро которого

K( ; t) является эрмитово сопряженным к ядру K(t; ) (получается перестановкой аргументов

t и и комплексным сопряжением, подобно эрмитову сопряжению матриц). В дальнейшем мы применяем обозначение K (t; ) для эрмитово сопряжен-

íîãî ÿäðà

K( ; t), как и в случае матриц.

4.4.2Операторы в гильбертовом пространстве

Мы теперь сосредоточимся на операторах в гильбертовом пространстве. С каждым оператором A : H ! H в гильбертовом пространстве H свяжем

выражение B(y; x) = (y; Ax), которое называют билинейной формой, соответствующей оператору A. Это название не совсем точное; выражение (y; Ax) линейно только по аргументу x, а по y оно сопряженно линейно. В действительном пространстве H это будет настоящая билинейная форма,

т.е., линейная по каждому аргументу.

Для билинейной формы вводится понятие ограниченности и нормы, аналогично линейным функционалам.

Определение 4.4.7 Билинейная форма называется ограниченной, если существует постоянная C такая, что

jB(y; x)j Ckxkkyk

для любых x; y, а наилучшая такая постоянная называется нормой билинейной формы, т.е.,